Losowanie mikołajkowe: dlaczego ktoś zawsze wylosuje sam siebie
W skrócie: w losowaniu mikołajkowym z czapki szansa, że co najmniej jedna osoba wylosuje siebie, wynosi około 63% dla każdej grupy od pięciu osób w górę i niewiele różni się dla trzech i czterech. Szansa każdej osoby jest mała (1 na 8 w grupie ośmiu), ale osób jest 8 i średnio dokładnie jedna wylosuje siebie, niezależnie od wielkości grupy. „Odłóż i losuj dalej” przy 8 osobach zawodzi mniej więcej raz na 11. Ustawienie wszystkich w losowe koło i kupowanie prezentu sąsiadowi działa zawsze.
Ciocia Grażyna prowadzi rodzinne losowanie mikołajkowe. Do czapki wujka Janusza trafia osiem karteczek z imionami, każdy wyciąga jedną i co roku, odkąd sięga pamięć, ktoś wylosowuje sam siebie.
Janusz uważa, że czapka jest przeklęta. Kuzyn Seba uważa, że przeklęta jest rodzina. Dziadek Zenek wylosował siebie dwa lata z rzędu i oba razy kupił sobie skarpety, które, jak mówi, były najlepszymi prezentami, jakie dostał.
W zeszłym roku Seba wprowadził poprawkę: jeśli wylosujesz siebie, odłóż karteczkę i losuj dalej. Działało to pięknie, dopóki Andżelika, która losowała ostatnia, nie zajrzała do czapki i nie znalazła w niej tylko własnego imienia. W ramach przeprosin dostała los na loterię. Nie wygrał.
63%, których nikt się nie spodziewa
Dla jednej osoby w grupie ośmiu szansa wylosowania siebie to 1 na 8. Wydaje się mała. Ale osób jest osiem i każda podejmuje to małe ryzyko.
- Szansa, że każdy wylosuje kogoś innego: około 36,8%.
- Szansa, że co najmniej jedna osoba wylosuje siebie: około 63,2%.
Rodzina Grażyny nie jest więc przeklęta. Jest typowa. W dwóch latach na trzy ktoś wylosowuje siebie, a trzy złe lata z rzędu zdarzają się mniej więcej w co czwartej rodzinie.
Dlaczego wielkość grupy prawie nie ma znaczenia
I tu robi się dziwnie. Przy 3 osobach szansa, że ktoś wylosuje siebie, to 67%. Przy 4 to 62,5%. Przy 5, 63,3%. Przy 6, 10, 100 osobach albo całej firmie to 63,2%, z dokładnością do większej liczby miejsc po przecinku, niż ktokolwiek potrzebuje. (Wynik ustala się na 1 minus 1/e, gdzie e to słynna stała matematyczna 2,718, która najwyraźniej od zawsze chowała się w świętach.)
Powód: większa grupa daje każdej osobie mniejszą szansę wylosowania siebie, ale też więcej osób podejmuje to ryzyko. Oba efekty znoszą się dokładnie. Średnio liczba osób, które wylosują siebie, wynosi dokładnie jeden, w każdej grupie. To wartość oczekiwana i najbardziej uparta liczba na całej imprezie.
Szansa, że ktoś wylosuje sam siebie
Dlaczego „odłóż i losuj dalej” zawodzi
Reguła Seby naprawia sprawę wszystkim oprócz ostatniej osoby. Gdy czapka do niej dociera, może zostać tylko jedna karteczka, i może to być jej własna. Przy 8 osobach zdarza się to w około 9% przypadków: mniej więcej raz na 11 lat. Losowanie całej czapki od nowa, gdy ktokolwiek trafi siebie, działa, ale wymaga średnio około 2,7 podejścia, a rodzina musi za każdym razem zapominać, kogo wylosowała.
Losowanie, które zawsze działa za pierwszym razem
1. Potasuj imiona. Wypisz je na kartkach, potasuj zakryte i rozłóż w koło.
2. Kupuj dla następnej kartki. Każdy kupuje prezent dla imienia po swoim, idąc w kółko; ostatni kupuje dla pierwszego.
3. Zachowaj tajemnicę. Niech jedna osoba, która nie bierze udziału (albo darmowe losowanie w internecie), powie każdemu tylko jego parę. Nikt nie wylosuje siebie i zawsze udaje się za pierwszym razem. Jedyny haczyk: powstaje jedno wielkie koło, więc dwie osoby nigdy nie wylosują siebie nawzajem. Przy wigilijnym stole nikomu to jeszcze nie przeszkadzało.
Gdzie to kosztuje pieniądze
Ta sama arytmetyka łapie inwestorów. Jeśli jedna strategia ma 5% szans, że wyjdzie świetnie czystym przypadkiem, to wydaje się bezpieczne. Przetestuj 20 strategii, a szansa, że co najmniej jedna wyjdzie świetnie przez przypadek, to około 64%. Małe szanse powtarzane wiele razy przestają być małe. To wielokrotne testowanie i dlatego nasze testy mitów pokazują każdą wersję, którą sprawdziliśmy, a nie tę, która wyglądała najlepiej.
Morał
Grażyna przeszła na koło. Zadziałało za pierwszym razem. Janusz wylosował Grażynę i dał jej tę samą świeczkę zapachową co w zeszłym roku i rok wcześniej. Grażyna zauważyła, że szansa na to wynosi 100%. Janusz odpowiedział, że przynajmniej nie 63%. Dziadek Zenek, który nie może już wylosować siebie, i tak kupuje sobie skarpety, poza systemem, i nazywa to swoim prywatnym filarem emerytalnym.
Prawdopodobieństwa zakładają uczciwe, dobrze przemieszane losowanie. Rodzina i świeczka są zmyślone. Treść edukacyjna, a nie porada finansowa.