Amigo invisible: por qué siempre a alguien le toca él mismo
La versión corta: en un amigo invisible sacado de un gorro, la probabilidad de que al menos una persona saque su propio nombre es de más o menos un 63% para cualquier grupo de cinco o más, y algo distinta para tres o cuatro. La probabilidad de cada uno es pequeña (1 entre 8 en un grupo de 8), pero son 8, y de media exactamente una persona se saca a sí misma, sea cual sea el tamaño del grupo. «Devuélvelo y saca otro» falla más o menos 1 vez de cada 11 con 8 personas. Sentar a todos en un círculo al azar y regalar al de al lado funciona siempre.
La tía Mari Carmen organiza el amigo invisible de la familia. Ocho nombres van a la gorra del tío Paco, cada uno saca uno y todos los años desde que hay memoria a alguien le toca él mismo.
Paco cree que la gorra está gafada. El cuñado cree que la gafada es la familia. Al abuelo Manolo le tocó él mismo dos años seguidos y las dos veces se compró calcetines, que según él fueron los mejores regalos que recibió.
El año pasado, el cuñado introdujo un arreglo: si te sacas a ti mismo, devuelve el papel y saca otro. Funcionó de maravilla hasta que Lucía, que sacaba la última, abrió la gorra y encontró solo su propio nombre. Como disculpa le dieron un décimo de lotería. No tocó.
El 63% que nadie espera
Para una persona en un grupo de ocho, la probabilidad de sacarse a sí misma es de 1 entre 8. Parece poco. Pero son ocho personas, y cada una corre ese pequeño riesgo.
- Probabilidad de que a todos les toque otra persona: más o menos un 36,8%.
- Probabilidad de que al menos a una persona le toque ella misma: más o menos un 63,2%.
Así que la familia de Mari Carmen no está gafada. Es normal. Dos años de cada tres a alguien le toca él mismo, y tres años malos seguidos pasan más o menos en una de cada cuatro familias.
Por qué el tamaño del grupo casi no importa
Aquí viene lo raro. Con 3 personas, la probabilidad de que alguien se saque a sí mismo es del 67%. Con 4, del 62,5%. Con 5, del 63,3%. Con 6, 10, 100 o toda una oficina, es del 63,2%, con más decimales de los que nadie necesita. (Se estabiliza en 1 menos 1/e, donde e es la famosa constante matemática 2,718, que por lo visto llevaba toda la vida escondida en la Navidad.)
La razón: un grupo más grande da a cada persona menos probabilidad de sacarse a sí misma, pero también hay más personas corriendo el riesgo. Los dos efectos se anulan exactamente. De media, el número de personas a las que les toca su propio nombre es exactamente uno, en cualquier grupo. Es un valor esperado, y es el número más cabezota de la fiesta.
Probabilidad de que a alguien le toque él mismo
Por qué falla «devuélvelo y saca otro»
La regla del cuñado lo arregla para todos menos para el último. Cuando la gorra le llega, puede que solo quede un papel, y puede que sea el suyo. Con 8 personas eso pasa más o menos el 9% de las veces: un año de cada 11, aproximadamente. Volver a sortear toda la gorra cuando a alguien le toca él mismo sí funciona, pero hacen falta unos 2,7 intentos de media, y la familia tiene que olvidar cada vez a quién le había tocado.
Un sorteo que siempre funciona a la primera
1. Baraja los nombres. Escríbelos en tarjetas, barájalas boca abajo y ponlas en círculo.
2. Regala a la tarjeta siguiente. Cada uno regala al nombre que va después del suyo, dando la vuelta; el último regala al primero.
3. Guarda el secreto. Que una persona que no juega (o un sorteo gratuito por internet) le diga a cada uno solo su pareja. Nadie puede sacarse a sí mismo y siempre funciona a la primera. La única pega: sale un único círculo grande, así que dos personas nunca pueden tocarse mutuamente. En la comida de Navidad a nadie le ha importado jamás.
Dónde te cuesta dinero
La misma aritmética pilla a los inversores. Si una estrategia tiene un 5% de probabilidad de parecer brillante por pura suerte, parece seguro. Prueba 20 estrategias y la probabilidad de que al menos una parezca brillante por suerte es de más o menos un 64%. Las probabilidades pequeñas, repetidas, dejan de ser pequeñas. Son las comparaciones múltiples, y por eso nuestras pruebas de mitos enseñan todas las versiones que probamos, no la que salió mejor.
La moraleja
Mari Carmen se pasó al círculo. Funcionó a la primera. A Paco le tocó Mari Carmen y le regaló la misma vela aromática que el año pasado y que el anterior. Mari Carmen señaló que la probabilidad de eso es del 100%. Paco contestó que al menos no es del 63%. El abuelo Manolo, que ya no puede sacarse a sí mismo, se sigue comprando calcetines igualmente, por fuera del sistema, y lo llama su plan de pensiones privado.
Las probabilidades suponen un sorteo justo y bien mezclado. La familia y la vela son inventadas. Contenido educativo, no asesoramiento financiero.