Statystyka od zera · Lekcja 13 z 22
Wartość oczekiwana: ile średnio jest wart zakład
W jednym zdaniu: Wartość oczekiwana to to, co wybór daje średnio, gdyby dało się go powtarzać wiele razy; wyjaśnia, dlaczego kasyno zawsze wygrywa, dlaczego ubezpieczenie może mimo to mieć sens i dlaczego wysoka skuteczność może tracić pieniądze.
Pomysł
Każdy wybór o niepewnym wyniku, od zakładu przez polisę po transakcję, da się podsumować jedną liczbą: tym, ile daje średnio, gdyby dało się podejmować ten sam wybór w kółko. Ta liczba to wartość oczekiwana.
Liczy się ją tak: każdy możliwy wynik mnożysz przez jego prawdopodobieństwo i wszystko dodajesz. To wszystko. Nazwa jest myląca: wartość oczekiwana to często wynik, którego w pojedynczej próbie w ogóle nie da się dostać. To średnia z wielu prób.
Wujek Janusz na festynie
Na letnim festynie jedno stoisko proponuje grę: płacisz 8 zł, rzucasz kostką i jeśli wypadnie szóstka, wygrywasz 40 zł. Wujek Janusz rzucał 9 razy. Wygrał raz i opisuje grę jako „prawie się zwracającą”.
Wyceńmy jeden rzut:
- 1 szansa na 6, że wygrasz 40 zł: to średnio 40 × 1/6 = 6,67 zł.
- Zawsze płacisz 8 zł.
- Wartość oczekiwana: 6,67 zł - 8 zł = -1,33 zł na rzut.
Średnio każdy rzut kosztuje Janusza 1,33 zł. Czasem wygra i wygrane będą cudowne, ale przez wiele rzutów stoisko zgarnia mniej więcej jedną szóstą wszystkiego, co mu wręczy. To przewaga kasyna i tak jest zbudowana każda gra w kasynie, loteria i gra na festynie: niektórzy gracze wygrywają, przeciętny gracz traci, a kasyno jest przeciwnikiem przeciętnego gracza na zawsze. (Nasz tekst o Lotto to przypadek skrajny.)
Kiedy średnia to nie wszystko: ubezpieczenie
Ciocia Grażyna płaci 32 zł miesięcznie za ubezpieczenie telefonu wartego 480 zł. Powiedzmy, że szansa, że go zniszczy w danym miesiącu, to 1 na 20. Oczekiwana strata to 480 × 1/20 = 24 zł miesięcznie, więc ubezpieczenie ma wartość oczekiwaną -8 zł miesięcznie. Według samych liczb to zły zakład i ubezpieczyciel na to liczy.
Czy Grażyna się myli? Niekoniecznie. Wartość oczekiwana mówi o średniej, a nie o ryzyku. Jeśli strata 480 zł naraz byłaby w tym miesiącu prawdziwym problemem, zapłacenie małych, pewnych 32 zł, żeby uniknąć rzadkich, bolesnych 480 zł, może mieć sens. Po to jest ubezpieczenie: zamieniasz odrobinę gorszą średnią na dużo mniejszy najgorszy przypadek. Przestaje to mieć sens, gdy ubezpieczasz rzeczy, które łatwo odkupisz, raz za razem, i za każdym razem płacisz przewagę ubezpieczyciela.
Wartość oczekiwana to więc dobry przewodnik, gdy będziesz powtarzać wybór wiele razy i przeżyjesz złe wyniki. Gdy jeden zły wynik mocno by zabolał, liczy się też rozrzut wyników (lekcja 3).
Pułapka wysokiej skuteczności
Kuzyn Seba ma strategię giełdową, która wygrywa w 60% przypadków. Mówi o tym wszystkim. Nikomu nie mówi, że jego wygrane to średnio +1%, a straty średnio -2%.
Wartość oczekiwana na transakcję: 0,6 × (+1%) + 0,4 × (-2%) = 0,6% - 0,8% = -0,2%. Seba wygrywa przeważnie i w sumie traci pieniądze. Sama skuteczność nic nie mówi; potrzebujesz też wielkości wygranych i strat. Dlatego ciasny stop-loss potrafi dać mnóstwo małych strat i gorszą średnią, co wyszło w naszym teście stop-lossa.
Spróbuj sam
Janusz w finale quizu w pubie może wybrać jedną z dwóch nagród. A: pewne 180 zł. B: rzut monetą, orzeł 400 zł, reszka nic.
1. Jaka jest wartość oczekiwana każdej? 2. Co powinien wybrać? 3. Czy odpowiedź by się zmieniła, gdyby mógł dokonać dokładnie tego wyboru 1000 razy?
Pokaż odpowiedź
1. A jest warte 180 zł. B jest warte 0,5 × 400 zł + 0,5 × 0 zł = 200 zł.
2. B ma wyższą średnią. Ale to jedna próba: w połowie przypadków Janusz wychodzi z niczym. Jeśli pewne 180 zł znaczy dla niego więcej niż rzut monetą o 400 zł, wybór A jest całkiem rozsądny. Wybieranie bezpieczniejszej opcji kosztem odrobiny średniej to awersja do ryzyka i większość ludzi ją ma, rozsądnie.
3. Przy 1000 próbach B prawie na pewno dałoby blisko 200 000 zł wobec 180 000 zł z A. Przy wielu powtórzeniach wygrywa średnia, a ryzyko w większości się wypłukuje. Właśnie dlatego kasyna kochają wartość oczekiwaną, a pojedynczy gracze nie powinni ufać swojemu szczęściu.
Słowa, których używa wykładowca
| Wykładowca mówi | To znaczy |
|---|---|
| Wartość oczekiwana, E(X) | Średnia wszystkich możliwych wyników ważona ich prawdopodobieństwem |
| Zmienna losowa | Liczba, której wartość zależy od przypadku (wygrana z jednego rzutu) |
| Przewaga kasyna | Oczekiwana strata gracza na zakład, wbudowana w grę |
| Gra sprawiedliwa | Zakład o wartości oczekiwanej równej dokładnie zero |
| Wariancja (wyników) | Jak bardzo rozrzucone są możliwe wyniki; miara ryzyka |
| Awersja do ryzyka | Gotowość przyjęcia niższej średniej w zamian za mniejszą niepewność |
| Skuteczność (odsetek trafień) | Część prób, które wygrywają; bez wielkości wygranych i strat nic nie znaczy |
Trzy rzeczy do zapamiętania
- Wartość oczekiwana = każdy wynik razy jego prawdopodobieństwo, wszystko dodane. To średnia z wielu prób.
- Przy wielu powtórzeniach wygrywa średnia; przy jednym, bolesnym wyniku liczy się też ryzyko.
- Wysoka skuteczność nic nie znaczy bez wielkości wygranych i strat.
Część kursu Statystyka od zera, darmowego kursu dla początkujących od WrongStat. Nie zastąpi wykładowcy, ale mamy nadzieję, że będzie dobrym tłumaczem.