Statystyka od zera · Lekcja 4 z 22
Prawdopodobieństwo bez łez
W jednym zdaniu: Prawdopodobieństwo to liczba od 0 do 1, która mówi, jak często coś się zdarza na dłuższą metę, a moneta, kostka i ruletka nie mają pamięci, więc po pięciu czerwonych czarne wcale nie „musi” wypaść.
Pomysł
Prawdopodobieństwo to liczba od 0 do 1, która mówi, jak bardzo coś jest prawdopodobne. 0 znaczy, że nigdy się nie zdarza. 1 znaczy, że zdarza się zawsze. Wszystko inne jest pomiędzy, a ludzie zwykle zapisują to w procentach: 0,5 to 50%, czyli „pół na pół”.
Najbardziej przydatny sposób myślenia: prawdopodobieństwo to jak często coś by się zdarzało, gdyby dało się powtórzyć tę samą sytuację wiele, wiele razy. Szansa 1 na 6 nie znaczy, że zdarza się dokładnie raz na sześć prób. Znaczy, że przy tysiącach prób zdarza się mniej więcej raz na sześć.
Gdy każdy wynik jest tak samo prawdopodobny, liczenie to po prostu liczenie:
prawdopodobieństwo = wyniki, które cię interesują ÷ wszystkie możliwe wyniki
Kostka ma sześć ścianek, a szóstka jest na jednej z nich, więc szansa na wyrzucenie szóstki to 1 na 6, około 17%.
Trzy reguły, które robią większość roboty
- LUB: dodawaj. Jeśli dwie rzeczy nie mogą zdarzyć się naraz, szansa na jedną albo drugą to suma obu szans. Wyrzucenie 5 albo 6: 1/6 + 1/6 = 2/6, czyli 1 na 3.
- I: mnóż. Jeśli dwie rzeczy na siebie nie wpływają, szansa, że zdarzą się obie, to iloczyn obu szans. Dwie kostki, obie szóstki: 1/6 × 1/6 = 1/36, poniżej 3%. Dlatego „i” zawsze robi rzeczy mniej prawdopodobnymi.
- NIE: odejmij od 1. Szansa, że coś się nie zdarzy, to 1 minus szansa, że się zdarzy. Niewyrzucenie szóstki: 1 minus 1/6 = 5/6.
Reguła NIE kryje najlepszą sztuczkę tej lekcji. Pytania o „co najmniej jeden” trudno policzyć wprost, więc trzeba je odwrócić: szansa na co najmniej jedną szóstkę w czterech rzutach to 1 minus szansa na żadną szóstkę w czterech rzutach. Brak szóstki cztery razy z rzędu to 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296, około 48%. Czyli co najmniej jedna szóstka to około 52%. Trochę lepiej niż rzut monetą, i właśnie o takie rzeczy kłócili się hazardziści w XVII wieku, z czego w ogóle narodził się rachunek prawdopodobieństwa.
Wujek Janusz w kasynie
Rodzina świętuje urodziny kuzyna Seby w kasynie. Wujek Janusz stoi przy ruletce i patrzy. Kulka wpadła na czerwone pięć razy z rzędu.
„Teraz musi być czarne”, mówi Janusz i stawia na czarne resztę budżetu na piwo.
Europejska ruletka ma 37 pól: 18 czerwonych, 18 czarnych i jedno zielone zero. Szansa na czarne w każdym obrocie to 18 na 37, około 48,6%. Po pięciu czerwonych z rzędu szansa na czarne w następnym obrocie wynosi... 18 na 37, około 48,6%. Koło nie wie, co robiło wcześniej. To kawałek drewna z kulką w środku.
Czarne nie wypadło. Janusz spędził resztę wieczoru, tłumacząc cioci Grażynie, że został „statystycznie okradziony”.
Wiara, że jakiś wynik „musi teraz wypaść”, bo dawno go nie było, nazywa się błędem hazardzisty. Bierze się z prawdziwego pomysłu, który ludzie rozumieją na odwrót.
Szansa na czarne w następnym obrocie
Prawo wielkich liczb (i czego ono nie mówi)
Tym prawdziwym pomysłem jest prawo wielkich liczb: przy bardzo wielu obrotach odsetek czerwonych ustali się blisko 48,6%. To prawda. Ale nie dzieje się tak dlatego, że koło „poprawia” serię czerwonych, produkując potem dodatkowe czarne. Dzieje się tak dlatego, że po tysiącach obrotów mała seria pięciu ginie w tłumie. Seria nie zostaje spłacona. Po prostu tonie.
Obroty, rzuty monetą i rzuty kostką to zdarzenia niezależne: jeden wynik nie zmienia szans następnego. Większość życiowych serii szczęścia i pecha działa tak samo, dlatego serie zdarzają się dużo częściej, niż ludzie się spodziewają. Pięć czerwonych z rzędu ma około 2,7% szans w dowolnych konkretnych pięciu obrotach, mniej więcej 1 na 37. Przy ruchliwym stole obrotów w ciągu wieczoru jest dużo więcej niż 37.
Po co to komuś poza zajęciami
Wyobraź sobie strategię tradingową, która wygrywa 40% transakcji. Zakładając, że każda transakcja jest niezależna od poprzedniej, szansa, że dowolne konkretne pięć transakcji to same straty, wynosi 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6, około 7,8%. Przy kilkuset transakcjach taka seria jest prawie pewna. Seria strat sama w sobie nie dowodzi, że strategia jest zepsuta, i na pewno nie znaczy, że teraz „należy się” wygrana. Odpowiedź daje tylko dużo więcej danych, i o tym jest nasza historia o seriach pecha.
Spróbuj sam
Wujek Janusz planuje grilla. Prognoza mówi: 50% szans na deszcz w sobotę i 50% szans na deszcz w niedzielę. „Czyli na 100% będzie gdzieś w weekend padać”, mówi Janusz i odwołuje grilla.
Jaka jest prawdziwa szansa na deszcz co najmniej jednego z tych dwóch dni? (Załóż, że sobotnia pogoda nie wpływa na niedzielną.)
Pokaż odpowiedź
Janusz użył reguły LUB, ale reguła LUB działa tylko dla rzeczy, które nie mogą zdarzyć się obie naraz. A padać może spokojnie w oba dni, więc dodawanie jest błędem. (Gdyby było dobre, trzy dni po 50% dawałyby 150% szans na deszcz.)
Użyj zamiast tego sztuczki „co najmniej jeden”. Szansa, że w sobotę nie będzie padać, to 50%, i że w niedzielę nie będzie padać, też 50%. Brak deszczu w oba dni: 0,5 × 0,5 = 0,25, czyli 25%.
Więc szansa na deszcz co najmniej jednego dnia to 1 minus 0,25 = 75%. Wysoka, ale nadal jest 1 szansa na 4 na suchy weekend, który Janusz właśnie odwołał.
Uczciwy przypis: prawdziwa pogoda nie jest w pełni niezależna. Deszczowa sobota sprawia, że deszczowa niedziela jest trochę bardziej prawdopodobna. To było nasze założenie, a mówienie swoich założeń na głos to połowa porządnego rachunku prawdopodobieństwa.
Słowa, których używa wykładowca
| Wykładowca mówi | To znaczy |
|---|---|
| Doświadczenie losowe | Cokolwiek z niepewnym wynikiem: rzut, obrót, losowanie |
| Przestrzeń zdarzeń elementarnych | Lista wszystkiego, co może się zdarzyć (sześć ścianek kostki) |
| Zdarzenie | Wynik albo grupa wyników, o które pytasz („szóstka”, „liczba parzysta”) |
| P(A) | Po prostu skrót od „prawdopodobieństwo A” |
| Zdarzenie przeciwne | „Nie A”. Jego prawdopodobieństwo to 1 minus P(A) |
| Zdarzenia rozłączne (wykluczające się) | Nie mogą zdarzyć się naraz (5 i 6 w jednym rzucie). Tylko wtedy można po prostu dodawać |
| Zdarzenia niezależne | Jedno nie zmienia szans drugiego (dwa osobne rzuty). Tylko wtedy można po prostu mnożyć |
| Reguła dodawania / reguła mnożenia | Reguła LUB i reguła I z tej lekcji |
| Prawo wielkich liczb | Przy wielu próbach odsetek wyników ustala się blisko prawdziwego prawdopodobieństwa |
| Błąd hazardzisty | Wiara, że wynik „musi wypaść”, bo ostatnio go nie było |
Trzy rzeczy do zapamiętania
- Prawdopodobieństwo to jak często coś się zdarza na dłuższą metę, od 0 (nigdy) do 1 (zawsze).
- LUB znaczy dodawaj (tylko jeśli nie mogą zdarzyć się obie). I znaczy mnóż (tylko jeśli są niezależne). „Co najmniej jeden” to 1 minus „żaden”.
- Monety, kostki i ruletki nie mają pamięci. Nic nigdy „nie musi” wypaść, a serie są normalne.
Część kursu Statystyka od zera, darmowego kursu dla początkujących od WrongStat. Nie zastąpi wykładowcy, ale mamy nadzieję, że będzie dobrym tłumaczem.