Statystyka od zera · Lekcja 5 z 22
Krzywa dzwonowa wyjaśniona przy barze
W jednym zdaniu: Gdy sumuje się mnóstwo małych, losowych wpływów, wyniki układają się w kształt dzwonu wokół średniej, a wtedy odchylenie standardowe mówi dokładnie, jak rzadkie jest cokolwiek.
Pomysł
Zmierz mnóstwo rzeczy, z których każdą popycha wiele małych, losowych wpływów, a wyniki zwykle ułożą się w ten sam kształt: większość wartości skupia się blisko średniej, im dalej od niej, tym jest ich mniej, a obie strony wyglądają jak lustrzane odbicia. Narysuj to na wykresie, a wyjdzie górka z zaokrąglonym szczytem i długimi, cienkimi zboczami po obu stronach. Wygląda jak dzwon, więc wszyscy nazywają to krzywą dzwonową. Wykładowca nazywa to rozkładem normalnym.
Do pełnego opisu dzwonu wystarczą dwie liczby: średnia (gdzie jest środek dzwonu, lekcja 2) i odchylenie standardowe (jak szeroki jest dzwon, lekcja 3). Znając te dwie, wiesz, jak częsta albo rzadka jest dowolna wartość.
Barman nalewa piwo
Ulubiony pub wujka Janusza, ruchliwy piątek. Barman nalewa kufel za kuflem. Kufel to pół litra, ale żaden nie ma nigdy dokładnie 500 ml. Tu trochę więcej piany, tam chwila nieuwagi, lekko przechylona szklanka, klient wykrzykujący zamówienie w trakcie nalewania. Każde popchnięcie jest maleńkie i losowe, jedne podnoszą poziom piwa, inne go obniżają.
Przez większość czasu popchnięcia mniej więcej się znoszą i kufel ląduje blisko 500 ml. Czasem kilka z nich przypadkiem pcha w tę samą stronę i kufel wychodzi wyraźnie niedolany albo hojnie przelany. Bardzo rzadko prawie wszystkie pchają w tę samą stronę.
Powiedzmy (to przykład, a nie pomiar), że kufle barmana mają średnio 500 ml z odchyleniem standardowym 10 ml. Ustaw tysiąc piątkowych kufli według wielkości, a ułożą się w dzwon.
Janusz jest oczywiście przekonany, że każdy jego kufel jest niedolany.
Dlatego krzywa dzwonowa pojawia się wszędzie: wychodzi zawsze wtedy, gdy wynik jest sumą wielu małych, niezależnych popchnięć. Wzrost (wiele genów, do tego jedzenie i sen), błędy pomiaru, wyniki dużego, dobrze ułożonego egzaminu i waga paczek chipsów układają się mniej więcej w dzwon.
Reguła 68-95-99,7
A oto nagroda. Dla każdej krzywej dzwonowej, bez względu na to, co mierzy:
- Około 68% wartości ląduje w 1 odchyleniu standardowym od średniej.
- Około 95% w 2 odchyleniach standardowych.
- Około 99,7% w 3 odchyleniach standardowych.
Wróćmy do baru. Kufel z 490 ml to 1 odchylenie standardowe za mało. Mniej więcej co szósty kufel jest co najmniej tak niedolany, więc to, że Janusz taki dostał, jest zupełnie normalne. Kufel z 480 ml to 2 odchylenia standardowe za mało: około 1 na 44. W ruchliwy wieczór kilka takich komuś się trafi. Kufel z 470 ml to 3 odchylenia standardowe za mało: około 1 na 740. Jeśli Janusz dostanie taki raz, to może być pech. Jeśli dostaje taki co piątek, Janusz ma rację, a może i sprawę do załatwienia.
Ta sama reguła działa na ludziach. Przyjmijmy w okrągłych liczbach, że dorośli mężczyźni mają średnio 178 cm wzrostu, z odchyleniem standardowym 7 cm (taki rząd wielkości wychodzi w pomiarach młodych mężczyzn w Polsce). Wtedy mniej więcej dwie trzecie mężczyzn ma od 171 do 185 cm, a około 95% od 164 do 192 cm. Mężczyzna z 199 cm wzrostu jest 3 odchylenia standardowe powyżej średniej: wyższy od wszystkich poza mniej więcej 1 na 740. Dlatego trenerzy koszykówki znają większość z nich z imienia.
Tysiąc piątkowych kufli
Wynik z: jak bardzo to nietypowe?
Liczenie „ile odchyleń standardowych od średniej” jest tak przydatne, że ma własną nazwę: wynik z.
wynik z = (twoja wartość minus średnia) ÷ odchylenie standardowe
Wynik z równy 0 to idealna średnia. 1 to jedno odchylenie standardowe powyżej. Wynik z 2 poniżej średniej zapisuje się jako „minus 2” i oznacza nietypowo nisko. Magia polega na tym, że wyniki z pozwalają porównywać rzeczy mierzone w zupełnie różnych jednostkach: mililitry, centymetry, punkty z egzaminu, cokolwiek. „Ile odchyleń standardowych od średniej” znaczy wszędzie to samo.
Kiedy krzywa dzwonowa kłamie
Nie wszystko jest dzwonem. Dzwon pojawia się tylko wtedy, gdy sumuje się wiele małych popchnięć i żadne z nich nie dominuje. Gdy tak nie jest, może zawieść paskudnie:
- Dane krzywe, jak zarobki albo ceny mieszkań, mają długi ogon po jednej stronie (miliarder z lekcji 2). Nie ma lustrzanego odbicia, a reguła 68-95-99,7 nie działa.
- Grube ogony: na rynkach finansowych bardzo duże dzienne ruchy pojawiają się dużo częściej, niż powinny według krzywej dzwonowej. Jeśli ocenisz dzwonem, jak rzadki jest krach, mocno go nie docenisz. To jeden z powodów, dla których zawsze patrzymy na prawdziwą historię wyników, zamiast ufać zgrabnemu wzorowi.
Krzywa dzwonowa to model: niezwykle przydatny i błędny zawsze wtedy, gdy nie spełnia się jego założeń. Dobry statystyk sprawdza kształt danych, zanim sięgnie po regułę.
Spróbuj sam
Kuzyn Seba wraca do domu z dwoma wynikami egzaminów. Ze statystyki dostał 72 punkty; średnia w grupie wyniosła 60 z odchyleniem standardowym 6. Z historii dostał 80; średnia wyniosła 75 z odchyleniem standardowym 10. Oba zestawy wyników miały mniej więcej kształt dzwonu.
Seba mówi, że lepiej poszła mu historia, bo 80 to więcej niż 72. Ma rację?
Pokaż odpowiedź
Policz wyniki z.
Statystyka: (72 minus 60) ÷ 6 = 12 ÷ 6 = 2. Dwa odchylenia standardowe powyżej średniej grupy. To lepiej niż około 98% grupy.
Historia: (80 minus 75) ÷ 10 = 5 ÷ 10 = 0,5. Pół odchylenia standardowego powyżej średniej. To lepiej niż około 69% grupy.
Wynik ze statystyki robi dużo większe wrażenie, choć liczba jest niższa. Surowy wynik mówi tylko, ile punktów; wynik z mówi, jak to wypada na tle innych. (Seba poprosił, żebyśmy zaznaczyli, że jest teraz „statystycznie uzdolniony”. Zgodziliśmy się powiedzieć to jeden raz.)
Słowa, których używa wykładowca
| Wykładowca mówi | To znaczy |
|---|---|
| Rozkład normalny (rozkład Gaussa) | Krzywa dzwonowa |
| μ (mi) i σ (sigma) | Średnia i odchylenie standardowe całej populacji |
| Symetryczny | Obie strony są lustrzanymi odbiciami, więc średnia, mediana i dominanta leżą w środku |
| Reguła trzech sigm | Reguła 68-95-99,7 |
| Wynik z (wartość standaryzowana) | Ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej |
| Standardowy rozkład normalny, N(0, 1) | Krzywa dzwonowa ze średnią 0 i odchyleniem standardowym 1: skala, na której żyją wyniki z |
| Tablice rozkładu normalnego | Tabela, która zamienia wynik z na „jaka część wartości leży poniżej” |
| Skośny | Krzywy, z długim ogonem po jednej stronie, więc to nie dzwon |
| Grube ogony | Skrajne wartości zdarzają się częściej, niż przewiduje krzywa dzwonowa |
Trzy rzeczy do zapamiętania
- Wiele małych, losowych popchnięć zsumowanych razem daje krzywą dzwonową. Dlatego pojawia się tak często.
- 68-95-99,7: w 1, 2 i 3 odchyleniach standardowych od średniej. Wynik z mówi, o ile odchyleń standardowych coś odbiega.
- Najpierw sprawdź kształt. Zarobki są krzywe, a rynki mają grube ogony, i tam krzywa dzwonowa mocno nie docenia skrajności.
Część kursu Statystyka od zera, darmowego kursu dla początkujących od WrongStat. Nie zastąpi wykładowcy, ale mamy nadzieję, że będzie dobrym tłumaczem.