Statystyka od zera · Lekcja 3 z 22
Rozrzut: ta sama średnia, zupełnie inny wieczór
W jednym zdaniu: Średnia mówi, gdzie jest środek, a rozrzut mówi, jak daleko rzeczy od niego odchodzą; dwa puby z tą samą średnią temperaturą to może być przytulny wieczór albo noc na zmianę pocenia się i marznięcia.
Pomysł
W lekcji 2 znaleźliśmy środek danych. Ale środek to tylko połowa historii. Dwa zestawy liczb mogą mieć dokładnie tę samą średnią i nie mieć ze sobą nic wspólnego.
Druga połowa to rozrzut: jak daleko wartości odchodzą od średniej. Mały rozrzut znaczy, że wszystko trzyma się blisko środka, a średnia dobrze to opisuje. Duży rozrzut znaczy, że średnia to miejsce, w którym prawie nikt naprawdę nie jest.
Są dwa popularne sposoby, żeby go zmierzyć:
- Rozstęp: największa wartość minus najmniejsza. Szybki, prosty i łatwy do oszukania.
- Odchylenie standardowe: mniej więcej to, jak daleko typowa wartość leży od średniej. Wolniej się liczy, dużo bardziej się przydaje.
Dwa puby, jedna średnia
Wujek Janusz ma dwa ulubione puby. Ciocia Grażyna, która nosi w torebce termometr „na takie okazje”, zmierzyła temperaturę w każdym z nich pięć razy w ciągu wieczoru.
Pod Lwem: 20,5; 21; 21; 21,5 i 21°C. Średnia: 21°C.
Pod Koroną: 13, 29, 16, 26 i 21°C. Średnia: też 21°C.
Na papierze identyczne. W prawdziwym życiu Pod Lwem to przyjemny wieczór. Pod Koroną ma buzujący kominek na jednym końcu i drzwi, które nigdy się porządnie nie domykają, na drugim, więc cały wieczór albo się pocisz, albo siedzisz w kurtce. Janusz siada przy kominku. Grażyna siada przy drzwiach. Oboje opisują Koronę jako „przeciętną”.
Średnia nie odróżniła tych pubów. Rozrzut potrafi. Rozstęp Pod Lwem to 21,5 minus 20,5 = 1 stopień. Rozstęp Pod Koroną to 29 minus 13 = 16 stopni. Ten sam środek, zupełnie inny wieczór.
Pięć pomiarów temperatury w każdym pubie
Dlaczego rozstęp nie wystarcza
Rozstęp patrzy tylko na dwie liczby: największą i najmniejszą. Wszystko pomiędzy jest ignorowane. Dlatego jedna obserwacja odstająca potrafi go rozdmuchać. Gdyby ktoś raz otworzył piekarnik w pubie Pod Lwem, a Grażyna akurat mierzyła tuż obok, rozstęp by podskoczył, choć pozostałe cztery pomiary były zupełnie spokojne.
Odchylenie standardowe to naprawia, bo używa każdej wartości, a nie tylko dwóch najbardziej skrajnych.
Odchylenie standardowe krok po kroku
W podręcznikach wygląda strasznie. Słowami to cztery kroki. Oto one dla pubu Pod Koroną:
- Krok 1. Jak daleko jest każda wartość od średniej? 13 jest 8 poniżej 21. 29 jest 8 powyżej. 16 jest 5 poniżej, 26 jest 5 powyżej, a 21 trafia idealnie. (Zauważ, że gdybyś po prostu dodał „8 poniżej” i „8 powyżej”, zniosłyby się do zera, jakby żadnego rozrzutu nie było.)
- Krok 2. Podnieś każdą odległość do kwadratu. 8 × 8 = 64 i tak dalej: 64, 64, 25, 25 i 0. Kwadrat traktuje „poniżej” i „powyżej” tak samo, więc nic się nie znosi, a duże odległości liczą się mocniej niż małe.
- Krok 3. Uśrednij kwadraty. 64 + 64 + 25 + 25 + 0 = 178, podzielone przez 5 = 35,6. Ta liczba nazywa się wariancją. Jest w „stopniach do kwadratu”, co nikomu nic nie mówi.
- Krok 4. Wyciągnij pierwiastek, żeby wrócić do zwykłych stopni. Pierwiastek z 35,6 to około 6.
Czyli odchylenie standardowe Pod Koroną to około 6°C: typowy pomiar jest jakieś 6 stopni od średniej. Zrób to samo dla pubu Pod Lwem, a wyjdzie około 0,3°C. Typowy pomiar jest tam mniej niż pół stopnia od średniej, dlatego nikt Pod Lwem nigdy nie musiał siedzieć w kurtce.
Przydatna reguła na później: gdy dane mają zwykły kształt dzwonu (lekcja 5), około dwóch trzecich wartości ląduje w jednym odchyleniu standardowym od średniej, a około 95% w dwóch.
Po co to komuś poza zajęciami
Rozrzutem statystycy mówią o powtarzalności i ryzyku. Dwie firmy kurierskie mogą dowozić średnio w dwa dni, ale jeśli jednej zdarza się dziesięć, to ona zepsuje ci prezent urodzinowy. W finansach odchylenie standardowe stóp zwrotu to zwykła miara zmienności: dwie inwestycje mogą mieć tę samą średnią stopę zwrotu, a jedna z nich po drodze buja się dużo mocniej. Średnia bez rozrzutu to tylko pół odpowiedzi.
Spróbuj sam
Wieczór z rzutkami. W pięciu rundach wujek Janusz zdobył 40, 45, 50, 55 i 60 punktów. Kuzyn Seba zdobył 10, 90, 20, 80 i 50.
Policz średnią i rozstęp dla każdego z nich. Potem trudne pytanie: drużyna potrzebuje w ostatniej rundzie gracza, który zdobędzie co najmniej 40 punktów. Kogo wybierasz? A co, jeśli do wygranej potrzeba 85?
Pokaż odpowiedź
Średnie: Janusz 250 / 5 = 50. Seba 250 / 5 = 50. Identyczne.
Rozstępy: Janusz 60 minus 40 = 20. Seba 90 minus 10 = 80.
Jeśli chcesz też odchylenia standardowe: około 7 dla Janusza i około 32 dla Seby.
Potrzeba co najmniej 40? Wybierz Janusza. Przez cały wieczór nie zszedł poniżej 40. Sebie zdarzyło się to dwa razy.
Potrzeba 85? Teraz wybierz Sebę. Najlepszy wynik Janusza to 60, a przy tak małym rozrzucie bardzo mało prawdopodobne, że nagle trafi 85. Seba raz trafił już 90.
Ta sama średnia, odwrotne decyzje. Duży rozrzut to większa szansa na katastrofę i większa szansa na chwałę. Którą chcesz, zależy od tego, czego potrzebujesz, a sama średnia ci tego nie powie.
Słowa, których używa wykładowca
| Wykładowca mówi | To znaczy |
|---|---|
| Miary rozproszenia (zmienności) | Liczby opisujące, jak bardzo dane są rozrzucone |
| Rozstęp | Największa wartość minus najmniejsza |
| Rozstęp międzykwartylowy (IQR) | Rozstęp środkowej połowy danych, więc obserwacje odstające go nie ruszają |
| Odchylenie | Jak daleko jedna wartość jest od średniej |
| Wariancja | Średnia z odchyleń podniesionych do kwadratu (krok 3) |
| Odchylenie standardowe (SD, σ albo s) | Pierwiastek z wariancji: typowa odległość od średniej (krok 4) |
| Odchylenie standardowe w populacji a w próbie | Dla próby w kroku 3 dzieli się przez liczbę wartości minus jeden (n minus 1). To trochę podnosi wynik, bo próba zwykle zaniża rozrzut całego garnka. Dla pubu Pod Koroną daje to około 6,7 zamiast 6,0. |
| Zmienność | W finansach: odchylenie standardowe stóp zwrotu, czyli jak gwałtownie skacze cena |
Trzy rzeczy do zapamiętania
- Średnia bez rozrzutu to pół odpowiedzi. Zawsze pytaj, jak bardzo wartości się różnią.
- Rozstęp jest szybki, ale jedna obserwacja odstająca może go zepsuć. Odchylenie standardowe używa każdej wartości.
- Odchylenie standardowe to mniej więcej „jak daleko typowa wartość jest od średniej”. Małe znaczy powtarzalnie, duże znaczy, że wszystko może się zdarzyć.
Część kursu Statystyka od zera, darmowego kursu dla początkujących od WrongStat. Nie zastąpi wykładowcy, ale mamy nadzieję, że będzie dobrym tłumaczem.