Estadística desde cero · Lección 4 de 22
Probabilidad sin lágrimas
En una frase: La probabilidad es un número entre 0 y 1 que dice con qué frecuencia pasa algo a la larga, y las monedas, los dados y las ruletas no tienen memoria, así que después de cinco rojos no «tiene que» salir negro.
La idea
La probabilidad es un número entre 0 y 1 que dice lo probable que es algo. 0 significa que nunca pasa. 1 significa que pasa siempre. Todo lo demás está en medio, y la gente suele escribirlo en porcentaje: 0,5 es un 50%, o sea, «al cincuenta por ciento».
La forma más útil de pensarlo: la probabilidad es la frecuencia con la que pasaría algo si pudieras repetir la misma situación muchísimas veces. Una probabilidad de 1 entre 6 no significa que pase exactamente una vez de cada seis intentos. Significa que, con miles de intentos, pasa más o menos una vez de cada seis.
Cuando todos los resultados son igual de probables, calcular es simplemente contar:
probabilidad = resultados que te interesan ÷ todos los resultados posibles
Un dado tiene seis caras y el seis está en una de ellas, así que la probabilidad de sacar un seis es 1 entre 6, más o menos un 17%.
Tres reglas que hacen casi todo el trabajo
- O: suma. Si dos cosas no pueden pasar a la vez, la probabilidad de una u otra es la suma de las dos. Sacar un 5 o un 6: 1/6 + 1/6 = 2/6, o sea, 1 entre 3.
- Y: multiplica. Si dos cosas no se afectan entre sí, la probabilidad de que pasen las dos es el producto de las dos. Dos dados, dos seises: 1/6 × 1/6 = 1/36, menos de un 3%. Por eso «y» siempre hace las cosas menos probables.
- NO: réstale a 1. La probabilidad de que algo no pase es 1 menos la probabilidad de que pase. No sacar un seis: 1 menos 1/6 = 5/6.
La regla del NO esconde el mejor truco de esta lección. Las preguntas de «al menos uno» son difíciles de calcular directamente, así que hay que darles la vuelta: la probabilidad de sacar al menos un seis en cuatro tiradas es 1 menos la probabilidad de ningún seis en cuatro tiradas. No sacar seis cuatro veces seguidas es 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296, más o menos un 48%. Así que al menos un seis es más o menos un 52%. Un poco mejor que lanzar una moneda, y justo por cosas así discutían los jugadores en el siglo XVII, que es de donde salió la teoría de la probabilidad.
El tío Paco en el casino
La familia celebra el cumpleaños del cuñado en el casino. El tío Paco está de pie junto a la ruleta, mirando. La bola ha caído en rojo cinco veces seguidas.
«Ahora tiene que salir negro», dice Paco, y pone a negro todo lo que le quedaba del presupuesto para cañas.
La ruleta europea tiene 37 casillas: 18 rojas, 18 negras y un cero verde. La probabilidad de negro en cada tirada es 18 entre 37, un 48,6%. Después de cinco rojos seguidos, la probabilidad de negro en la siguiente tirada es... 18 entre 37, un 48,6%. La rueda no sabe lo que hizo antes. Es un trozo de madera con una bola dentro.
No salió negro. Paco pasó el resto de la noche explicándole a la tía Mari Carmen que le habían «robado estadísticamente».
Creer que un resultado «tiene que salir ya» porque hace mucho que no sale se llama falacia del jugador. Viene de una idea real que la gente entiende al revés.
Probabilidad de negro en la siguiente tirada
La ley de los grandes números (y lo que no dice)
Esa idea real es la ley de los grandes números: con muchísimas tiradas, la proporción de rojos se acercará al 48,6%. Es verdad. Pero no pasa porque la rueda «compense» la racha de rojos sacando después negros de más. Pasa porque, después de miles de tiradas, una racha pequeña de cinco se pierde entre la multitud. La racha no se devuelve. Simplemente se ahoga.
Las tiradas de ruleta, los lanzamientos de moneda y las tiradas de dado son sucesos independientes: un resultado no cambia las probabilidades del siguiente. La mayoría de las rachas de buena y mala suerte de la vida funcionan igual, y por eso las rachas aparecen mucho más a menudo de lo que la gente espera. Cinco rojos seguidos tienen más o menos un 2,7% de probabilidades en cinco tiradas concretas, más o menos 1 entre 37. Una mesa animada hace muchas más de 37 tiradas en una noche.
Para qué le sirve a alguien fuera de clase
Imagina una estrategia de trading que gana el 40% de sus operaciones. Suponiendo que cada operación es independiente de la anterior, la probabilidad de que cinco operaciones concretas cualesquiera sean todas pérdidas es 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6, más o menos un 7,8%. Con unos cientos de operaciones, una racha así es casi segura. Una racha de pérdidas por sí sola no demuestra que la estrategia esté rota, y desde luego no significa que «ya toque» ganar. La única respuesta la dan muchos más datos, y de eso va nuestra historia sobre las rachas de mala suerte.
Pruébalo tú
El tío Paco está organizando la paella del fin de semana. La previsión dice: un 50% de probabilidad de lluvia el sábado y un 50% el domingo. «O sea, que el fin de semana llueve seguro, al 100%», dice Paco, y cancela la paella.
¿Cuál es la probabilidad real de que llueva al menos uno de los dos días? (Supón que el tiempo del sábado no influye en el del domingo.)
Ver la respuesta
Paco ha usado la regla del O, pero la regla del O solo funciona para cosas que no pueden pasar las dos a la vez. Y puede llover perfectamente los dos días, así que sumar está mal. (Si estuviera bien, tres días al 50% darían un 150% de probabilidad de lluvia.)
Usa en su lugar el truco de «al menos uno». La probabilidad de que no llueva el sábado es del 50%, y de que no llueva el domingo, también del 50%. Que no llueva ninguno de los dos días: 0,5 × 0,5 = 0,25, o sea, un 25%.
Así que la probabilidad de que llueva al menos un día es 1 menos 0,25 = 75%. Alta, pero sigue habiendo 1 posibilidad entre 4 de un fin de semana seco que Paco acaba de cancelar.
Una nota honrada: el tiempo real no es del todo independiente. Un sábado lluvioso hace un poco más probable un domingo lluvioso. Esa era nuestra suposición, y decir tus suposiciones en voz alta es la mitad de un buen cálculo de probabilidades.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Experimento aleatorio | Cualquier cosa con un resultado incierto: una tirada, un giro, un sorteo |
| Espacio muestral | La lista de todo lo que puede pasar (las seis caras del dado) |
| Suceso | El resultado o grupo de resultados por el que preguntas («un seis», «un número par») |
| P(A) | Solo una forma corta de escribir «la probabilidad de A» |
| Suceso contrario (complementario) | «No A». Su probabilidad es 1 menos P(A) |
| Sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes) | No pueden pasar a la vez (un 5 y un 6 en la misma tirada). Solo entonces puedes sumar sin más |
| Sucesos independientes | Uno no cambia las probabilidades del otro (dos tiradas separadas). Solo entonces puedes multiplicar sin más |
| Regla de la suma / regla del producto | La regla del O y la regla del Y de esta lección |
| Ley de los grandes números | Con muchos intentos, la proporción de resultados se acerca a la probabilidad real |
| Falacia del jugador | Creer que un resultado «tiene que salir» porque últimamente no ha salido |
Tres cosas que recordar
- La probabilidad es la frecuencia con la que pasa algo a la larga, desde 0 (nunca) hasta 1 (siempre).
- O significa sumar (solo si no pueden pasar las dos). Y significa multiplicar (solo si son independientes). «Al menos uno» es 1 menos «ninguno».
- Las monedas, los dados y las ruletas no tienen memoria. Nada «tiene que» salir nunca, y las rachas son normales.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.