Statystyka od zera · Lekcja 17 z 22
Centralne twierdzenie graniczne: dlaczego średnie układają się w dzwon
W jednym zdaniu: Uśrednij dość wiele niezależnych losowych rzeczy, a średnia ułoży się w krzywą dzwonową, niezależnie od tego, jaki kształt miały pojedyncze rzeczy, i będzie coraz węższa w przewidywalny sposób.
Pomysł
W lekcji 5 poznałeś krzywą dzwonową i usłyszałeś, że pojawia się wszędzie. Ta lekcja wyjaśnia dlaczego. Powód ma wielką nazwę, centralne twierdzenie graniczne, i prosty przekaz: średnie zachowują się grzecznie, nawet gdy pojedyncze rzeczy nie.
Weź dużo niezależnych losowych rzeczy, dodaj je albo uśrednij, a wynik ułoży się w krzywą dzwonową. Nie ma większego znaczenia, czy pojedyncze rzeczy były płaskie, krzywe czy dziwne. Uśrednianie wygładza je w dzwon.
Wieczór z planszówką
Wujek Janusz kupił grę planszową, w której w pewnym momencie rzuca się trzydziestoma kostkami naraz i bierze średnią. Janusz uważa, że to absurd. „Kostka może pokazać wszystko od 1 do 6”, mówi. „Więc średnia z trzydziestu kostek też może być czymkolwiek od 1 do 6. Czysty chaos”.
Ciocia Grażyna rzuciła trzydziestoma kostkami dwadzieścia razy. Średnia zawsze wypadała gdzieś między 3 a 4. Janusz oskarżył kostki o bycie nudnymi.
Od płaskiego przez trójkąt do dzwonu
- Jedna kostka: każda ścianka od 1 do 6 jest tak samo prawdopodobna. Płasko. Żadnego dzwonu.
- Dwie kostki zsumowane: 2 da się dostać tylko na jeden sposób (1 i 1), a 7 na sześć sposobów. Sumy w środku są dużo bardziej prawdopodobne niż na brzegach. Kształt to trójkąt ze szczytem w 7.
- Trzydzieści kostek uśrednionych: średnia bliska 1 wymaga, żeby prawie każda kostka pokazała 1, co praktycznie się nie zdarza. Większość kombinacji ląduje w okolicach środka. Kształt to wyraźny dzwon wokół 3,5.
Kostki się nie zmieniły. Zmieniła się tylko liczba uśrednianych. To centralne twierdzenie graniczne w jednym obrazku: płaski kształt jednej kostki znika, a pojawia się dzwon średniej.
Jak bardzo się zwęża?
Druga połowa twierdzenia jest równie przydatna. Rozrzut średniej maleje w przewidywalny sposób: to rozrzut jednej rzeczy podzielony przez pierwiastek z liczby uśrednianych.
- Jedna kostka ma odchylenie standardowe około 1,71.
- Średnia z 30 kostek ma odchylenie standardowe 1,71 ÷ √30 = około 0,31.
- Więc w około 95% przypadków średnia z 30 kostek wypada między 3,5 - 2 × 0,31 a 3,5 + 2 × 0,31: mniej więcej od 2,9 do 4,1. Zasymulowaliśmy 100 000 rzutów trzydziestoma kostkami i 95,1% trafiło w ten przedział.
Wyniki Grażyny nie były nudne. Były twierdzeniem.
Ten rozrzut średniej to dokładnie błąd standardowy z lekcji 6. A pierwiastek to powód, dla którego sondaże potrzebują czterech razy więcej ludzi, żeby zmniejszyć margines błędu o połowę: √4 = 2.
Dlaczego to takie ważne
Prawie wszystko w lekcjach 6-16 po cichu opiera się na tym twierdzeniu. Przedziały ufności (lekcja 9) używają „plus minus dwa błędy standardowe”, bo średnia układa się w dzwon. Test t (lekcja 14) działa na średnich z tego samego powodu. Dlatego można testować średnie rzeczy, które same w ogóle nie przypominają dzwonu, takich jak dochody, czasy oczekiwania albo wyniki transakcji.
Gdzie zawodzi
- Małe próby bardzo krzywych rzeczy. Średnie z 5 dochodów, z których jeden może być miliardera (lekcja 2), nie będą wyglądać jak dzwon. Im bardziej krzywe dane, tym więcej ich trzeba.
- Rzeczy, które nie są niezależne. Twierdzenie zakłada, że każda rzecz to osobny rzut. Zwroty akcji w dni krachu takie nie są: wszystko spada razem. To jeden z powodów, dla których rynki dają więcej skrajnych dni, niż przewiduje dzwon („grube ogony” z lekcji 5).
- To twierdzenie o średniej, nie o pojedynczych rzeczach. Średnia z trzydziestu kostek ma kształt dzwonu; pojedyncza kostka nadal jest płaska. Dzwon średnich nic nie mówi o pojedynczym rzucie.
Spróbuj sam
Klienci budki z lemoniadą kuzyna Seby kupują bardzo różne ilości: większość jeden kubek, niektórzy pięć dla całej rodziny. Liczba kubków na klienta ma odchylenie standardowe około 1,5 i jest bardzo krzywa.
1. Jakie jest odchylenie standardowe średniej liczby kubków na klienta w dniu ze 100 klientami? 2. Czy Seba może planować tę dzienną średnią na podstawie dzwonu, chociaż pojedynczy klienci są krzywi?
Pokaż odpowiedź
1. 1,5 ÷ √100 = 1,5 ÷ 10 = 0,15 kubka.
2. Mniej więcej tak. Przy 100 klientach średnia jest bliska dzwonu, choć pojedynczy klienci nie są. Pod warunkiem że klienci decydują niezależnie. Jeśli przyjedzie wycieczka autokarowa z 40 osobami, to nie jest 40 niezależnych klientów i tego dnia dzwon przestaje być dobrą wskazówką.
Słowa, których używa wykładowca
| Wykładowca mówi | To znaczy |
|---|---|
| Centralne twierdzenie graniczne (CTG) | Średnia wielu niezależnych losowych wartości układa się w dzwon, niezależnie od ich własnego kształtu |
| Rozkład z próby (rozkład średniej) | Kształt, który dostałbyś, powtarzając losowanie próby wiele razy i rysując wszystkie średnie |
| Błąd standardowy | Odchylenie standardowe tego rozkładu: σ ÷ √n |
| Niezależne o jednakowym rozkładzie (i.i.d.) | Każda wartość to osobne losowanie z tego samego rodzaju losowości; główne założenie twierdzenia |
| Rozkład skośny | Rozkład z długim ogonem po jednej stronie; potrzebuje większych prób, zanim średnia zacznie przypominać dzwon |
| Reguła n ≥ 30 | Popularna, przybliżona wskazówka, kiedy średnia jest „dość dzwonowa”; bardzo krzywe dane potrzebują więcej |
Trzy rzeczy do zapamiętania
- Średnie wielu niezależnych rzeczy układają się w dzwon, nawet gdy same rzeczy nie.
- Rozrzut średniej maleje z pierwiastkiem z próby: cztery razy więcej danych, połowa rozrzutu.
- Potrzebna jest niezależność. Gdy wszystko rusza się razem, jak w krachu, dzwon przestaje chronić.
Część kursu Statystyka od zera, darmowego kursu dla początkujących od WrongStat. Nie zastąpi wykładowcy, ale mamy nadzieję, że będzie dobrym tłumaczem.