Estadística desde cero · Lección 17 de 22
El teorema central del límite: por qué las medias forman campanas
En una frase: Promedia suficientes cosas aleatorias independientes y la media sigue una curva de campana, sea cual sea la forma de cada cosa, y se estrecha de forma predecible a medida que añades más.
La idea
En la lección 5 conociste la curva de campana y te dijeron que aparece en todas partes. Esta lección explica por qué. La razón tiene un nombre solemne, el teorema central del límite, y un mensaje sencillo: las medias se portan bien aunque las cosas sueltas no lo hagan.
Toma muchas cosas aleatorias independientes, súmalas o promédialas, y el resultado sigue una curva de campana. Da bastante igual que cada cosa fuera plana, torcida o rara. Promediar las alisa hasta formar una campana.
Noche de juegos de mesa
El tío Paco se ha comprado un juego de mesa en el que, en un momento dado, se tiran treinta dados a la vez y se usa la media. A Paco le parece absurdo. «Un dado puede salir cualquier cosa del 1 al 6», dice. «Así que la media de treinta dados también puede ser cualquier cosa del 1 al 6. Caos puro».
La tía Mari Carmen tiró los treinta dados veinte veces. La media siempre salió más o menos entre 3 y 4. Paco acusó a los dados de aburridos.
De plano a triángulo y a campana
- Un dado: todas las caras del 1 al 6 son igual de probables. Plano. Ninguna campana.
- Dos dados sumados: solo hay una forma de sacar 2 (1 y 1) pero seis de sacar 7. Los totales del centro son mucho más probables que los de los extremos. La forma es un triángulo con el pico en 7.
- Treinta dados promediados: una media cerca de 1 exige que casi todos los dados saquen 1, cosa que prácticamente nunca pasa. La mayoría de las combinaciones caen cerca del centro. La forma ya es una campana clara centrada en 3,5.
Los dados no cambiaron. Solo cambió cuántos se promediaban. Ese es el teorema central del límite en una imagen: la forma plana de un dado desaparece y aparece la campana de la media.
¿Cuánto se estrecha?
La segunda mitad del teorema es igual de útil. La dispersión de la media se reduce de forma predecible: es la dispersión de una sola cosa dividida entre la raíz cuadrada de cuántas promedias.
- Un dado tiene una desviación típica de unos 1,71.
- La media de 30 dados tiene una desviación típica de 1,71 ÷ √30 = unos 0,31.
- Así que alrededor del 95% de las veces la media de 30 dados cae entre 3,5 - 2 × 0,31 y 3,5 + 2 × 0,31: más o menos entre 2,9 y 4,1. Simulamos 100.000 tiradas de treinta dados y el 95,1% cayó en ese rango.
Los resultados de Mari Carmen no eran aburridos. Eran el teorema.
Esa dispersión de la media es exactamente el error típico de la lección 6. Y la raíz cuadrada es la razón por la que las encuestas necesitan cuatro veces más gente para reducir su margen de error a la mitad: √4 = 2.
Por qué importa tanto
Casi todo lo de las lecciones 6 a 16 se apoya en silencio en este teorema. Los intervalos de confianza (lección 9) usan «más o menos dos errores típicos» porque la media sigue una campana. La prueba t (lección 14) funciona con medias por el mismo motivo. Por eso puedes hacer pruebas con medias de cosas que no se parecen nada a una campana, como ingresos, tiempos de espera o resultados de operaciones.
Dónde falla
- Muestras pequeñas de cosas muy torcidas. Las medias de 5 ingresos, uno de los cuales puede ser el de un milmillonario (lección 2), no parecerán una campana. Cuanto más torcido es lo original, más datos necesitas.
- Cosas que no son independientes. El teorema supone que cada cosa es una tirada aparte. Los rendimientos de las acciones en días de crac no lo son: todo cae a la vez. Es una de las razones por las que los mercados dan más días extremos de lo que predice una campana (las «colas gruesas» de la lección 5).
- Habla de la media, no de cada cosa. La media de treinta dados tiene forma de campana; un solo dado sigue siendo plano. Una campana de medias no te dice nada de una tirada concreta.
Pruébalo tú
Los clientes del puesto de limonada del cuñado compran cantidades muy distintas: la mayoría un vaso, algunos cinco para toda la familia. Los vasos por cliente tienen una desviación típica de unos 1,5 y están muy torcidos.
1. ¿Cuál es la desviación típica de la media de vasos por cliente en un día con 100 clientes? 2. ¿Puede el cuñado planificar con una campana esa media diaria, aunque los clientes sueltos estén torcidos?
Ver la respuesta
1. 1,5 ÷ √100 = 1,5 ÷ 10 = 0,15 vasos.
2. Más o menos, sí. Con 100 clientes, la media se acerca a una campana aunque los clientes sueltos no. Siempre que los clientes decidan de forma independiente. Si llega una excursión en autobús con 40 personas, no son 40 clientes independientes, y ese día la campana deja de ser una buena guía.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Teorema central del límite (TCL) | La media de muchos valores aleatorios independientes sigue una campana, sea cual sea su propia forma |
| Distribución muestral | La forma que obtendrías si repitieras el muestreo muchas veces y dibujaras todas las medias |
| Error típico | La desviación típica de esa distribución muestral: σ ÷ √n |
| Independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d.) | Cada valor es una extracción aparte del mismo tipo de azar; el supuesto principal del teorema |
| Distribución asimétrica | Una con una cola larga hacia un lado; necesita muestras más grandes antes de que la media parezca una campana |
| Regla n ≥ 30 | Una guía aproximada y habitual de cuándo la media es «lo bastante acampanada»; los datos muy torcidos necesitan más |
Tres cosas para recordar
- Las medias de muchas cosas independientes forman una campana, aunque las cosas en sí no la formen.
- La dispersión de una media se reduce con la raíz cuadrada de la muestra: cuatro veces más datos, la mitad de dispersión.
- Hace falta independencia. Cuando todo se mueve a la vez, como en un crac, la campana deja de protegerte.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.