Statystyka od zera · Lekcja 16 z 22
Test chi-kwadrat: czy kostka jest oszukana?
W jednym zdaniu: Test chi-kwadrat porównuje liczebności, które dostałeś, z tymi, których spodziewałbyś się, gdyby nic ciekawego się nie działo, i mówi, czy różnica jest większa, niż zwykle daje przypadek.
Pomysł
Test t (lekcja 14) porównuje średnie. Ale wiele danych to wcale nie średnie, tylko liczebności: ile szóstek, ile osób wybrało każdą opcję, ile deszczowych dni po bolącym kolanie. Dla liczebności standardowym narzędziem jest test chi-kwadrat (chi to grecka litera χ, czytana „chi”).
Pomysł jest prosty. Ustal, jak liczebności powinny wyglądać, gdyby nic ciekawego się nie działo. Porównaj je z tym, co faktycznie dostałeś. Zsumuj różnice w sprytny sposób. Jeśli suma jest większa, niż zwykle daje przypadek, coś ciekawego prawdopodobnie się dzieje.
Podejrzana kostka
Na letnim festynie stoisko z grą w kości (lekcja 13) wypłaca dużo szóstek, przynajmniej innym. Wujek Janusz jest przekonany, że kostka jest oszukana. Pożyczył ją, rzucił 60 razy i policzył:
| Ścianka | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Wyrzucone (obserwowane) | 8 | 9 | 7 | 10 | 9 | 17 |
| Uczciwa kostka (oczekiwane) | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
Siedemnaście szóstek zamiast dziesięciu. Janusz jest gotów dzwonić na policję. Najpierw zróbmy test.
Liczymy ręcznie
Dla każdej ścianki weź (obserwowane - oczekiwane), podnieś do kwadratu i podziel przez oczekiwaną liczebność. Potem zsumuj:
- Ścianka 1: (8 - 10)² ÷ 10 = 0,4
- Ścianka 2: (9 - 10)² ÷ 10 = 0,1
- Ścianka 3: (7 - 10)² ÷ 10 = 0,9
- Ścianka 4: (10 - 10)² ÷ 10 = 0
- Ścianka 5: (9 - 10)² ÷ 10 = 0,1
- Ścianka 6: (17 - 10)² ÷ 10 = 4,9
- Razem: χ² = 6,4
Kwadrat sprawia, że każda różnica jest dodatnia, a duże różnice karze mocniej niż małe; dzielenie przez oczekiwaną liczebność stawia różnice na uczciwej skali.
Czy 6,4 to dużo? To zależy od tego, ile kategorii może się swobodnie zmieniać, czyli od stopni swobody: tutaj 6 ścianek minus 1 = 5 (gdy znasz pięć liczebności i sumę, szósta jest ustalona). Przy 5 stopniach swobody uczciwa kostka daje χ² powyżej 11,07 tylko w 5% przypadków. 6,4 Janusza jest wyraźnie poniżej. Wartość p to około 0,27: uczciwa kostka dałaby co najmniej tak krzywy wynik mniej więcej 27 razy na 100.
Werdykt: brak prawdziwych dowodów, że kostka jest oszukana. Siedemnaście szóstek na 60 rzutów wygląda dramatycznie, ale uczciwe kostki robią takie rzeczy zaskakująco często.
Kiedy ten sam wzór staje się dowodem
Teraz załóżmy, że Janusz miałby cierpliwość rzucić 600 razy i dostałby dokładnie te same proporcje: 80, 90, 70, 100, 90 i 170 szóstek. Oczekiwana liczebność na ściankę to 100, a χ² wychodzi 64, z wartością p poniżej jednej milionowej. Ten sam wzór, dziesięć razy więcej danych: teraz to przytłaczające. Dokładnie lekcja o mocy z lekcji 15. Przy 60 rzutach test ledwo mógł złapać oszukaną kostkę; przy 600 nie może jej przegapić.
Drugi test chi-kwadrat: czy dwie rzeczy są powiązane?
Ten sam pomysł działa dla tabel. W naszej historii o kolanie dziadka 100 przykładowych dni posortowano według dwóch rzeczy: czy kolano bolało i czy następnego dnia padało?
| Deszcz następnego dnia | Sucho | |
|---|---|---|
| Kolano boli (40 dni) | 12 | 28 |
| Kolano milczy (60 dni) | 18 | 42 |
Jeśli kolano i deszcz nie są powiązane, spodziewasz się, że 30% deszczowych dni dotyczy obu wierszy: 12 na 40 i 18 na 60. Dokładnie tak wyszło, więc χ² = 0: żadnego związku. To test niezależności chi-kwadrat i standardowy sposób sprawdzenia, czy dwie kategorie idą w parze.
Spróbuj sam
Ciocia Grażyna zapytała 90 członków rodziny, który z trzech dni woli na świąteczny obiad. Wyniki: 24 grudnia: 40, 25 grudnia: 30, 26 grudnia: 20. Gdyby rodzina nie miała preferencji, spodziewałbyś się po 30.
1. Policz χ². 2. Przy 2 stopniach swobody próg 5% to 5,99. Czy jest prawdziwa preferencja?
Pokaż odpowiedź
1. (40 - 30)² ÷ 30 + (30 - 30)² ÷ 30 + (20 - 30)² ÷ 30 = 3,33 + 0 + 3,33 = 6,67.
2. 6,67 to więcej niż 5,99, więc tak: preferencja dla 24 grudnia jest większa, niż zwykle daje przypadek (wartość p około 0,036). Janusz, który głosował na 26, zażądał ponownego liczenia. I pamiętaj lekcję z rodzinnej grupy: test zakłada, że te 90 odpowiedzi reprezentuje rodzinę. Jeśli odpowiedzieli tylko najchętniejsi krewni, chi-kwadrat jest precyzyjny co do niewłaściwych ludzi.
Słowa, których używa wykładowca
| Wykładowca mówi | To znaczy |
|---|---|
| Test chi-kwadrat (χ²) | Test porównujący liczebności obserwowane z oczekiwanymi |
| Test zgodności | Wersja sprawdzająca, czy liczebności pasują do konkretnego oczekiwania (uczciwa kostka) |
| Test niezależności | Wersja sprawdzająca, czy dwie kategorie są powiązane (kolano i deszcz) |
| Liczebności obserwowane (O) i oczekiwane (E) | Liczebności, które dostałeś, i te, które byś dostał, gdyby nic ciekawego się nie działo |
| Stopnie swobody | Ile liczebności może się swobodnie zmieniać; dla jednej listy liczba kategorii minus jeden |
| Tabela kontyngencji (tabela krzyżowa) | Tabela liczebności posortowanych według dwóch kategorii naraz |
| Oczekiwana liczebność co najmniej 5 | Zwykła reguła, kiedy test jest wiarygodny; przy maleńkich liczebnościach nie jest |
Trzy rzeczy do zapamiętania
- Chi-kwadrat porównuje liczebności, które dostałeś, z tymi, których spodziewałbyś się po przypadku.
- Krzywo wyglądająca tabela w małej próbie łatwo może być przypadkiem; ten sam wzór w dużej próbie może być przytłaczający.
- Test jest tyle wart, ile liczenie: to, kogo policzono, znaczy tyle samo co arytmetyka.
Część kursu Statystyka od zera, darmowego kursu dla początkujących od WrongStat. Nie zastąpi wykładowcy, ale mamy nadzieję, że będzie dobrym tłumaczem.