Estadística desde cero · Lección 16 de 22
La prueba chi-cuadrado: ¿está trucado el dado?
En una frase: La prueba chi-cuadrado compara los recuentos que obtuviste con los que esperarías si no pasara nada interesante, y te dice si la diferencia es mayor de lo que suele dar el azar.
La idea
La prueba t (lección 14) compara medias. Pero muchos datos no son medias, son recuentos: cuántos seises, cuánta gente eligió cada opción, cuántos días de lluvia tras un dolor de rodilla. Para los recuentos, la herramienta estándar es la prueba chi-cuadrado (chi es la letra griega χ, y se pronuncia «ji»).
La idea es sencilla. Calcula cómo deberían ser los recuentos si no pasara nada interesante. Compáralos con los que tienes. Suma las diferencias de una forma ingeniosa. Si el total es mayor de lo que suele dar el azar, probablemente sí está pasando algo interesante.
El dado sospechoso
En la feria del pueblo, la caseta del juego de dados (lección 13) está pagando muchos seises, al menos a los demás. El tío Paco está convencido de que el dado está trucado. Se lo pidió prestado, lo tiró 60 veces y contó:
| Cara | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Obtenido (observado) | 8 | 9 | 7 | 10 | 9 | 17 |
| Dado justo (esperado) | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
Diecisiete seises en lugar de diez. Paco está listo para llamar a la Guardia Civil. Primero, hagamos la prueba.
Calcularla a mano
Para cada cara, toma (observado - esperado), elévalo al cuadrado y divídelo entre el recuento esperado. Luego súmalo todo:
- Cara 1: (8 - 10)² ÷ 10 = 0,4
- Cara 2: (9 - 10)² ÷ 10 = 0,1
- Cara 3: (7 - 10)² ÷ 10 = 0,9
- Cara 4: (10 - 10)² ÷ 10 = 0
- Cara 5: (9 - 10)² ÷ 10 = 0,1
- Cara 6: (17 - 10)² ÷ 10 = 4,9
- Total: χ² = 6,4
Elevar al cuadrado hace que todas las diferencias sean positivas y castiga más las grandes que las pequeñas; dividir entre el recuento esperado pone las diferencias en una escala justa.
¿Es mucho 6,4? Depende de cuántas categorías pueden variar libremente, los grados de libertad: aquí 6 caras menos 1 = 5 (si conoces cinco recuentos y el total, el sexto está fijado). Con 5 grados de libertad, un dado justo da un χ² mayor de 11,07 solo el 5% de las veces. El 6,4 de Paco está bastante por debajo. El valor p es de unos 0,27: un dado justo daría un resultado al menos así de torcido unas 27 veces de cada 100.
Veredicto: no hay pruebas reales de que el dado esté trucado. Diecisiete seises en 60 tiradas parecen dramáticos, pero los dados justos hacen cosas así sorprendentemente a menudo.
Cuando el mismo patrón se vuelve prueba
Supón ahora que Paco tuviera la paciencia de tirarlo 600 veces y obtuviera exactamente las mismas proporciones: 80, 90, 70, 100, 90 y 170 seises. El recuento esperado por cara es 100 y el χ² sale 64, con un valor p por debajo de uno entre un millón. El mismo patrón, diez veces más datos: ahora es abrumador. Exactamente la lección de la potencia de la lección 15. Con 60 tiradas, la prueba apenas podía pillar un dado trucado; con 600 no se le puede escapar.
La otra prueba chi-cuadrado: ¿están relacionadas dos cosas?
La misma idea funciona con tablas. En nuestra historia de la rodilla del abuelo, 100 días de ejemplo se clasificaron según dos cosas: ¿le dolía la rodilla?, ¿llovió al día siguiente?
| Lluvia al día siguiente | Seco | |
|---|---|---|
| Duele la rodilla (40 días) | 12 | 28 |
| La rodilla calla (60 días) | 18 | 42 |
Si la rodilla y la lluvia no están relacionadas, esperarías que el 30% de días de lluvia se aplicara a las dos filas: 12 de 40 y 18 de 60. Es exactamente lo que pasó, así que χ² = 0: ninguna relación. Es la prueba chi-cuadrado de independencia, la forma estándar de comprobar si dos categorías van juntas.
Pruébalo tú
La tía Mari Carmen preguntó a 90 familiares qué día preferían para la comida de Navidad. Resultados: día 24: 40, día 25: 30, día 26: 20. Si la familia no tuviera preferencia, esperarías 30 en cada uno.
1. Calcula χ². 2. Con 2 grados de libertad, el umbral del 5% es 5,99. ¿Hay una preferencia real?
Ver la respuesta
1. (40 - 30)² ÷ 30 + (30 - 30)² ÷ 30 + (20 - 30)² ÷ 30 = 3,33 + 0 + 3,33 = 6,67.
2. 6,67 es mayor que 5,99, así que sí: la preferencia por el día 24 es mayor de lo que suele dar el azar (el valor p es de unos 0,036). Paco, que votó por el 26, ha pedido un recuento. Y recuerda la lección del grupo familiar: la prueba supone que esas 90 respuestas representan a la familia. Si solo contestaron los familiares más entusiastas, el chi-cuadrado es muy preciso sobre la gente equivocada.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Prueba chi-cuadrado (χ²) | Una prueba que compara recuentos observados con esperados |
| Bondad de ajuste | La versión que comprueba si los recuentos encajan con una expectativa concreta (un dado justo) |
| Prueba de independencia | La versión que comprueba si dos categorías están relacionadas (la rodilla y la lluvia) |
| Frecuencias observadas (O) y esperadas (E) | Los recuentos que obtuviste, y los que obtendrías si no pasara nada interesante |
| Grados de libertad | Cuántos recuentos pueden variar libremente; para una lista, el número de categorías menos uno |
| Tabla de contingencia | Una tabla de recuentos clasificados por dos categorías a la vez |
| Recuento esperado de al menos 5 | La regla habitual para que la prueba sea fiable; con recuentos diminutos no lo es |
Tres cosas para recordar
- El chi-cuadrado compara los recuentos que obtuviste con los que esperarías del azar.
- Una tabla de aspecto torcido puede ser azar en una muestra pequeña; el mismo patrón en una muestra grande puede ser abrumador.
- La prueba vale lo que vale el recuento: a quién se contó importa tanto como la aritmética.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.