Ile losów sprzedał Janusz? Problem niemieckich czołgów
W skrócie: jeśli rzeczy są ponumerowane od 1 w górę, a ty zobaczysz losowo kilka numerów, najwyższy z nich dużo mówi o całości. Prosty szacunek to najwyższy numer razy (1 + 1/k) minus 1, gdzie k to liczba zobaczonych numerów. Dziadek zobaczył pięć losów z najwyższym numerem 203 i oszacował 243. Statystycy aliantów zrobili to samo z numerami seryjnymi zdobytych czołgów i byli dużo bliżej prawdy niż szpiedzy: 244 miesięcznie wobec 1550 w raportach wywiadu, gdy niemieckie dokumenty wykazały później 271.
Wujek Janusz prowadził loterię na letnim festynie. Losy pochodziły z bloczka numerowanego od 1 w górę, po 8 zł za sztukę. Zapytany, jak poszło, Janusz powiedział, że sprzedał „jakiś tysiąc, plus minus”.
Dziadek Zenek, który czyta książki o drugiej wojnie światowej tak, jak inni czytają gazetę, zauważył w ciągu popołudnia w rękach ludzi pięć numerów losów: 31, 87, 142, 165 i 203. Zapisał je na serwetce, coś policzył i powiedział: „Dwieście czterdzieści trzy”. Janusz się roześmiał. Potem ciocia Grażyna otworzyła kasetkę.
Najwyższy numer mówi najwięcej
Jeśli losy są ponumerowane 1, 2, 3 i tak dalej, a pięć, które zobaczył dziadek, to losowa garść, to całość nie może być mniejsza niż 203: ktoś ma los numer 203. Pytanie brzmi, o ile powyżej 203 całość prawdopodobnie jest.
Pomysł jest taki. Pięć losowych numerów dzieli cały zakres średnio na sześć luk: luki między nimi, lukę poniżej najniższego i lukę powyżej najwyższego. Luki między numerami dziadka mają średnio około 40. Luka powyżej 203 też pewnie ma około 40. Zgrabny wzór robi to dokładnie:
- Szacunek = najwyższy numer × (1 + 1/k) - 1, gdzie k to liczba zobaczonych numerów.
- Dziadek: 203 × (1 + 1/5) - 1 = około 243.
W kasetce było 1944 zł. Po 8 zł za los to 243 losy.
Czołgi
To się nazywa problem niemieckich czołgów. W czasie drugiej wojny światowej alianci chcieli wiedzieć, ile czołgów produkują Niemcy. Szpiedzy i raporty wywiadu podawały duże liczby. Statystycy poszli inną drogą: zdobyte i zniszczone niemieckie czołgi miały numery seryjne na częściach, zwłaszcza skrzyniach biegów, a te numery szły po kolei. Z numerów, które znaleźli, oszacowali produkcję tak samo, jak dziadek oszacował losy.
- Na czerwiec 1941 roku szacunek statystyczny wynosił 244 czołgi miesięcznie.
- Szacunek wywiadu: 1550.
- Po wojnie niemieckie dokumenty wykazały 271.
Kilka numerów seryjnych i wzór pokonały siatkę szpiegów pięciokrotnie. Statystyka nie była idealna; w innych miesiącach myliła się w drugą stronę. Ale była we właściwej okolicy, a pewne siebie pogłoski nie.
Niemieckie czołgi wyprodukowane w czerwcu 1941
Jak bardzo można być pewnym?
Przy zaledwie pięciu numerach szacunek jest trafny średnio, ale potrafi chybić: w naszej symulacji loterii z 240 losami trafiał w granicach 10% od prawdy w około 41% przypadków. Więcej numerów bardzo go zawęża. Metoda wymaga też, żeby zobaczone numery były uczciwą, losową próbą. Jeśli widzisz tylko losy sprzedane w pierwszej godzinie, zaniżysz wynik.
Jak oszacować całość z kilku numerów
1. Sprawdź, czy rzeczy są numerowane po kolei. Losy, faktury, numery seryjne, numery zamówień.
2. Upewnij się, że to, co widzisz, to losowa garść. Nie pierwsze, nie ostatnie, nie te, które ktoś postanowił ci pokazać.
3. Użyj najwyższego numeru. Najwyższy × (1 + 1/k) - 1. I pamiętaj, że przy niewielu numerach odpowiedź to przedział, a nie fakt.
Gdzie to kosztuje pieniądze
Pewne siebie liczby od ludzi, którzy mają powód, żeby je zawyżać („mamy tysiące klientów”, „jakiś tysiąc losów”), warto sprawdzić z twardymi dowodami, jakie da się znaleźć. Mała, uczciwa próba prawdziwych danych zwykle wygrywa z dużym, pewnym siebie twierdzeniem. Zanim zainwestujesz, bo „wszyscy kupują”, poszukaj odpowiednika numerów seryjnych.
Morał
Janusz wyjaśnił, że „jakiś tysiąc” był szacunkiem entuzjazmu, a nie losów. Dziadek powiedział, że dokładnie to samo mówił wywiad aliantów w 1941 roku. Janusza poproszono teraz, żeby ponumerował też fanty w tomboli, a dziadka widziano przy stoisku z tombolą z serwetką.
Numery losów są przykładowe. Dane wojenne pochodzą z powszechnie przytaczanego zestawienia z 1947 roku, porównującego szacunki statystyczne, wywiadu i niemieckie dokumenty. Treść edukacyjna, a nie porada finansowa.