¿Cuántas papeletas vendió Paco? El problema de los tanques alemanes
La versión corta: si las cosas están numeradas del 1 en adelante y ves unos cuantos números al azar, el más alto te dice mucho del total. Una estimación sencilla es el número más alto por (1 + 1/k), menos 1, donde k es cuántos números has visto. El abuelo vio cinco papeletas con un máximo de 203 y calculó 243. Los estadísticos aliados hicieron lo mismo con los números de serie de tanques capturados y se acercaron mucho más que los espías: 244 al mes frente a los 1550 de inteligencia, cuando los registros alemanes mostraron después 271.
El tío Paco llevó la rifa de las fiestas del pueblo. Las papeletas salían de un talonario numerado del 1 en adelante, a 2 € cada una. Cuando le preguntaron qué tal había ido, Paco dijo que había vendido «unas mil, arriba o abajo».
El abuelo Manolo, que lee libros sobre la Segunda Guerra Mundial como otros leen el periódico, se había fijado durante la tarde en cinco números de papeleta en manos de la gente: 31, 87, 142, 165 y 203. Los apuntó en una servilleta, hizo una cuenta y dijo: «Doscientas cuarenta y tres». Paco se rio. Luego la tía Mari Carmen abrió la caja.
El número más alto es el que más dice
Si las papeletas van numeradas 1, 2, 3 y así sucesivamente, y las cinco que vio el abuelo son un puñado al azar, el total no puede ser menor de 203: alguien tiene la 203. La pregunta es cuánto por encima de 203 estará probablemente el total.
La idea es esta. Cinco números al azar parten el rango completo, de media, en seis huecos: los huecos entre ellos, el de debajo del más bajo y el de encima del más alto. Los huecos entre los números del abuelo son de unos 40 de media. Así que el hueco por encima de 203 probablemente también ronda los 40. Una fórmula sencilla lo hace con precisión:
- Estimación = número más alto × (1 + 1/k) - 1, donde k es cuántos números has visto.
- El abuelo: 203 × (1 + 1/5) - 1 = unas 243.
En la caja había 486 €. A 2 € la papeleta, son 243 papeletas.
Los tanques
Esto se llama el problema de los tanques alemanes. En la Segunda Guerra Mundial, los aliados querían saber cuántos tanques fabricaba Alemania. Los espías y los informes de inteligencia daban cifras grandes. Los estadísticos fueron por otro camino: los tanques alemanes capturados o destruidos llevaban números de serie en sus piezas, sobre todo en las cajas de cambios, y esos números iban seguidos. Con los números que encontraron, estimaron la producción igual que el abuelo estimó las papeletas.
- Para junio de 1941, la estimación estadística fue de 244 tanques al mes.
- La estimación de inteligencia fue de 1550.
- Después de la guerra, los registros alemanes mostraron 271.
Unos pocos números de serie y una fórmula ganaron a una red de espías por un factor de cinco. La estadística no fue perfecta; otros meses se equivocó hacia el otro lado. Pero estaba en el barrio correcto, y los rumores seguros de sí mismos no.
Tanques alemanes fabricados en junio de 1941
¿Hasta qué punto puedes estar seguro?
Con solo cinco números, la estimación acierta de media pero puede fallar: en nuestra simulación de una rifa con 240 papeletas, la estimación quedó a menos de un 10% de la verdad más o menos el 41% de las veces. Más números la afinan mucho. El método también necesita que los números que ves sean una muestra justa y al azar. Si solo ves las papeletas vendidas en la primera hora, te quedarás corto.
Cómo estimar un total con unos pocos números
1. Comprueba que las cosas van numeradas seguidas. Papeletas, facturas, números de serie, números de pedido.
2. Asegúrate de que lo que has visto es un puñado al azar. Ni los primeros, ni los últimos, ni los que alguien decidió enseñarte.
3. Usa el número más alto. El más alto × (1 + 1/k) - 1. Y recuerda que con pocos números la respuesta es un intervalo, no un hecho.
Dónde te cuesta dinero
Las cifras seguras de sí mismas de gente con motivos para inflarlas («tenemos miles de clientes», «unas mil papeletas») merece la pena contrastarlas con las pruebas sólidas que encuentres. Una muestra pequeña y justa de datos reales suele ganar a una afirmación grande y segura. Antes de invertir porque «todo el mundo está comprando», busca el equivalente de los números de serie.
La moraleja
Paco explicó que «unas mil» era una estimación del entusiasmo, no de las papeletas. El abuelo dijo que eso mismo decía la inteligencia aliada en 1941. A Paco le han pedido que numere también los premios de la tómbola, y al abuelo se le ha visto junto al puesto de la tómbola con una servilleta.
Los números de las papeletas son de ejemplo. Las cifras de la guerra proceden de la conocida comparación de 1947 entre las estimaciones estadísticas, las de inteligencia y los registros alemanes. Contenido educativo, no asesoramiento financiero.