Z życia · Prawdopodobieństwo warunkowe
Problem Monty'ego Halla: dlaczego warto zmienić wiadro
W skrócie: jeśli prowadzący wie, gdzie jest nagroda, i zawsze odkrywa pustą opcję, której nie wybrałeś, zamiana wygrywa 2 razy na 3, a pozostanie 1 raz na 3. Twój pierwszy wybór był trafny tylko w jednej trzeciej przypadków i ruch prowadzącego tego nie zmienia. Przy 100 wiadrach i 98 odkrytych zamiana wygrywa w 99%. Ale jeśli prowadzący odkrywa losowo i akurat trafia na puste, naprawdę jest pół na pół. Odpowiedź zależy od reguły, według której pokazano ci to, co widzisz, a nie od samego widoku.
Kuzyn Seba prowadzi na szkolnym festynie stoisko „Znajdź bon”. Pod jednym z trzech odwróconych wiader leży bon na 200 zł do rzeźnika. Wybierasz wiadro. Seba, który wie, gdzie jest bon, podnosi jedno z dwóch pozostałych, zawsze puste, i pyta, czy chcesz zmienić wybór.
Wujek Janusz wybrał wiadro numer jeden. Seba podniósł numer trzy: puste. „Zmieniasz?” Janusz odmówił. „Nigdy nie zmieniam. To kwestia lojalności. Poza tym teraz jest pół na pół. Dwa wiadra, jeden bon”. Wiadro numer jeden było puste. Bon leżał pod numerem dwa.
Janusz zagrał od tamtej pory jedenaście razy, jedenaście razy został przy swoim i wygrał cztery. Opisuje to jako „mniej więcej połowę”. Dyrektorka szkoły zapytała, czy nie dałby zagrać też dzieciom.
Dlaczego to nie jest pół na pół
Zapomnij na chwilę o podniesionym wiadrze i spójrz na pierwszy wybór Janusza. Przy trzech wiadrach jest trafny 1 raz na 3. Nic, co Seba zrobi potem, tego nie zmieni, bo Seba zawsze podniesie puste wiadro, niezależnie od tego, co wybrał Janusz.
- Raz na trzy Janusz wybrał bon. Seba podnosi któreś z pustych. Zamiana przegrywa.
- Dwa razy na trzy Janusz wybrał puste wiadro. Seba musi podnieść drugie puste, bo bonu podnieść nie może. Pozostałe wiadro ma bon. Zamiana wygrywa.
Pozostanie wygrywa więc 1 raz na 3, a zamiana 2 razy na 3. Jedenaście gier Janusza i cztery wygrane to niemal dokładnie tyle, ile powinno dać pozostawanie przy swoim.
Wersja ze 100 wiadrami
Jeśli to wciąż brzmi źle, powiększ grę. Sto wiader, jeden bon. Janusz wybiera jedno. Seba, który wie, podnosi 98 pustych i zostawia jedno inne wiadro. Zostać czy zmienić?
Pierwszy wybór Janusza miał szansę 1 na 100. Jedyne wiadro, którego Seba starannie nie podniósł spośród 99, ma pozostałe 99 na 100. Nikt by nie został. Przy trzech wiadrach logika jest ta sama; po prostu nie krzyczy.
Wszystko zależy od tego, co wie prowadzący
Zmieńmy teraz jedną rzecz. Seba nie wie, gdzie jest bon. Podnosi jedno z pozostałych wiader na chybił trafił i akurat trafia na puste. Wtedy naprawdę jest pół na pół i zamiana nic nie daje.
Te same wiadra, to samo puste wiadro przed tobą, inna odpowiedź. Różnica tkwi w regule, która wytworzyła to, co widzisz. Gdy Seba wie, jego wybór niesie informację o tym, gdzie jest bon. Gdy zgaduje, nie niesie żadnej. To prawdopodobieństwo warunkowe: w co powinieneś wierzyć, zależy od tego, jak wybrano dowody, a nie tylko od samych dowodów. (Lekcja 11 naszego kursu przerabia to na przykładzie alarmu samochodowego.)
Zagadka nosi imię Monty'ego Halla, prowadzącego amerykański teleturniej Let's Make a Deal; w Polsce podobnie wyglądał finał „Idź na całość” z bramkami i Zonkiem. W 1990 roku felietonistka Marilyn vos Savant wyjaśniła w magazynie Parade, że trzeba zmieniać, i dostała tysiące listów z zapewnieniami, że się myli, wiele od ludzi z doktoratami. Nie myliła się.
Szansa na wygranie bonu
Sprawdź w domu
1. Trzy kubki, jedno ciastko. Jedna osoba chowa ciastko i gra Sebę: zawsze podnosi pusty kubek, którego nie wybrałeś.
2. Zagraj 30 rund zostając i 30 zmieniając. Zapisuj każdy wynik. Spodziewaj się około 10 wygranych przy pozostawaniu i około 20 przy zmianie. Im więcej rund, tym bliżej.
3. Potem zagraj z prowadzącym, który zgaduje. Wyrzuć rundy, w których przypadkiem podniósł ciastko. Teraz pozostawanie i zmiana wychodzą mniej więcej po równo.
Gdzie to kosztuje pieniądze
Gdy ktoś pokazuje ci informacje, zapytaj, jak wybrał, co pokazać. Towarzystwo funduszy, które wystawia na stronie swoje pięć najlepszych funduszy, to prowadzący, który wie, gdzie są puste wiadra: fundusze na stronie są prawdziwe, ale wybrano je dlatego, że wypadły dobrze. Reguła wyboru mówi więcej niż sam wybór. A „już wybrałem, więc zostaję” to lojalność, a nie analiza.
Morał
Ciocia Grażyna ustawiła na kuchennym stole trzy kubki i ciastko i poprowadziła 60 rund. Pozostawanie wygrało 9 z 30. Zamiana wygrała 21 z 30. Janusz przestudiował wyniki i oznajmił, że gra była ustawiona, bo Grażyna cały czas wiedziała, gdzie jest ciastko. „Tak, Januszu”, powiedziała Grażyna. „O to właśnie chodzi”. Janusz wrócił na festyn. Teraz zmienia za każdym razem, także wtedy, gdy Seba zapomni podnieść wiadro.
Stoisko i bon są zmyślone; prawdopodobieństwa zakładają prowadzącego, który zna położenie nagrody i zawsze odkrywa pustą opcję, której nie wybrałeś. Treść edukacyjna, a nie porada finansowa.