Vida real · Probabilidad condicionada
El problema de Monty Hall explicado: por qué hay que cambiar de cubo
La versión corta: si el presentador sabe dónde está el premio y siempre destapa una opción vacía que no elegiste, cambiar gana 2 de cada 3 veces y quedarse, 1 de cada 3. Tu primera elección solo acertaba un tercio de las veces, y lo que haga el presentador no cambia eso. Con 100 cubos y 98 destapados, cambiar gana el 99%. Pero si el presentador destapa uno al azar y resulta estar vacío, de verdad es al cincuenta por ciento. La respuesta depende de la regla con la que te enseñaron lo que ves, no de lo que ves.
El cuñado lleva el puesto de «Encuentra el vale» en la feria del colegio. Debajo de uno de tres cubos boca abajo hay un vale de 50 € para la carnicería. Tú eliges un cubo. El cuñado, que sabe dónde está el vale, levanta uno de los otros dos, siempre uno vacío, y te pregunta si quieres cambiar.
El tío Paco eligió el cubo uno. El cuñado levantó el tres: vacío. «¿Cambias?» Paco se negó. «Yo nunca cambio. Es una cuestión de lealtad. Además, ahora es al cincuenta por ciento. Dos cubos, un vale». El cubo uno estaba vacío. El vale estaba debajo del dos.
Desde entonces Paco ha jugado once veces, se ha quedado las once y ha ganado cuatro. Lo describe como «más o menos la mitad». La directora del colegio le ha preguntado si dejaría jugar también a algún niño.
Por qué no es al cincuenta por ciento
Olvídate un momento del cubo levantado y mira la primera elección de Paco. Con tres cubos, acierta 1 de cada 3 veces. Nada de lo que haga después el cuñado puede cambiar eso, porque el cuñado siempre levantará un cubo vacío, elija Paco lo que elija.
- Una vez de cada tres, Paco eligió el vale. El cuñado levanta cualquiera de los vacíos. Cambiar pierde.
- Dos veces de cada tres, Paco eligió un cubo vacío. El cuñado tiene que levantar el otro vacío, porque el del vale no lo puede levantar. El cubo que queda tiene el vale. Cambiar gana.
Así que quedarse gana 1 de cada 3 y cambiar gana 2 de cada 3. Las once partidas de Paco, con cuatro victorias, son casi exactamente lo que debería darle quedarse.
La versión con 100 cubos
Si todavía te parece mal, hazlo más grande. Cien cubos, un vale. Paco elige uno. El cuñado, que lo sabe, levanta 98 cubos vacíos y deja otro cubo en pie. ¿Quedarse o cambiar?
La primera elección de Paco tenía una probabilidad de 1 entre 100. El único cubo que el cuñado se cuidó de no levantar, de 99, tiene las otras 99 de 100. Nadie se quedaría. Con tres cubos la lógica es la misma; simplemente no grita.
Depende de lo que sepa el presentador
Ahora cambiemos una cosa. El cuñado no sabe dónde está el vale. Levanta uno de los otros cubos al azar y da la casualidad de que está vacío. En ese caso sí es al cincuenta por ciento, y cambiar no ayuda.
Los mismos cubos, el mismo cubo vacío delante de ti, otra respuesta. La diferencia está en la regla que produjo lo que ves. Cuando el cuñado lo sabe, su elección lleva información sobre dónde está el vale. Cuando adivina, no lleva ninguna. Eso es la probabilidad condicionada: lo que debes creer depende de cómo se eligieron las pruebas, no solo de las pruebas. (La lección 11 de nuestro curso lo trabaja con una alarma de coche.)
El acertijo lleva el nombre de Monty Hall, presentador del concurso estadounidense Let's Make a Deal. En 1990, la columnista Marilyn vos Savant explicó en la revista Parade que hay que cambiar, y recibió miles de cartas diciéndole que se equivocaba, muchas de gente con doctorado. No se equivocaba.
Probabilidad de ganar el vale
Pruébalo en casa
1. Tres tazas, una galleta. Una persona esconde la galleta y hace de cuñado: siempre levanta una taza vacía que tú no elegiste.
2. Juega 30 rondas quedándote y 30 cambiando. Apunta cada resultado. Espera unas 10 victorias quedándote y unas 20 cambiando. Cuantas más rondas, más cerca.
3. Luego juega con un presentador que adivina. Descarta las rondas en las que levante la galleta por accidente. Ahora quedarse y cambiar salen más o menos iguales.
Dónde te cuesta dinero
Cada vez que alguien te enseña información, pregunta cómo eligió qué enseñarte. Una gestora que muestra sus cinco mejores fondos es un presentador que sabe dónde están los cubos vacíos: los fondos de la página son reales, pero se eligieron porque fueron bien. La regla de la selección dice más que la selección misma. Y «ya he elegido, así que me quedo» es lealtad, no análisis.
La moraleja
La tía Mari Carmen puso tres tazas y una galleta en la mesa de la cocina e hizo de presentadora en 60 rondas. Quedarse ganó 9 de 30. Cambiar ganó 21 de 30. Paco estudió los resultados y anunció que el juego estaba amañado, porque Mari Carmen sabía todo el rato dónde estaba la galleta. «Sí, Paco», dijo Mari Carmen. «De eso se trata». Paco ha vuelto a la feria. Ahora cambia siempre, incluso cuando al cuñado se le olvida levantar un cubo.
El puesto y su vale son inventados; las probabilidades suponen un presentador que sabe dónde está el premio y siempre destapa una opción vacía que no elegiste. Contenido educativo, no asesoramiento financiero.