Gra Penneya: jak ciocia Grażyna wygrywa rzut monetą o zmywanie 2 razy na 3
W skrócie: dowolne trzy konkretne rzuty uczciwą monetą z równą szansą dają orzeł-orzeł-orzeł albo reszka-orzeł-orzeł (po 1 na 8). Ale w wyścigu, który układ pojawi się pierwszy w serii rzutów, nie są równe. Przeciw orzeł-orzeł-orzeł reszka-orzeł-orzeł wygrywa 7 razy na 8. Cokolwiek wybierzesz, drugi gracz może wybrać układ, który pokona go co najmniej 2 razy na 3. Sztuczka: weź dwa pierwsze rzuty przeciwnika, postaw je na końcu i zacznij od przeciwieństwa jego środkowego rzutu.
Wujek Janusz i ciocia Grażyna rozstrzygają zmywanie monetą. Każde wybiera układ trzech rzutów. Rzucają, aż któryś układ się pojawi. Czyj układ wypadnie pierwszy, ten nie zmywa.
Janusz zawsze wybiera pierwszy, bo jest gościem honorowym we własnej kuchni. Wybiera orzeł-orzeł-orzeł, bo jest „mocny”. Grażyna wybiera reszka-orzeł-orzeł. Janusz zmywał w jedenaście z dwunastu ostatnich niedziel. Zaczął przychodzić na obiad w gumowych rękawiczkach, żeby oszczędzić czas.
Każdy układ jest tak samo prawdopodobny, prawda?
Jeśli rzucisz uczciwą monetą trzy razy, każdy układ trzech wyników jest tak samo prawdopodobny: OOO, OOR, ORO i pozostałe mają prawdopodobieństwo 1 na 8 każdy (O to orzeł, R to reszka). Każdy rzut jest niezależny od innych. Pojedynek dwóch układów powinien więc być pół na pół.
Nie jest, bo w pojedynku nie chodzi o to, „który układ wypadnie w trzech rzutach”. Chodzi o to, „który układ pojawi się pierwszy w długiej serii rzutów”, a układy wchodzą sobie w drogę.
Dlaczego reszka-orzeł-orzeł bije orzeł-orzeł-orzeł
Pomyśl, jak w ogóle może pojawić się OOO. Janusz wygrywa tylko wtedy, gdy trzy pierwsze rzuty to orły: szansa 1 na 8. Jeśli przed OOO w jakimkolwiek momencie wypadnie reszka, to następnym razem, gdy przyjdą dwa orły z rzędu, przyjdą zaraz po reszce, a to R, O, O. Układ Grażyny. Grażyna dociera do celu, zanim zdąży wypaść trzeci orzeł.
Grażyna wygrywa więc zawsze, gdy trzy pierwsze rzuty nie są samymi orłami: 7 razy na 8. „Mocny” układ Janusza to kaczka na strzelnicy.
Zawsze jest lepszy układ
Janusz w końcu zmienił układ. Nie pomogło, bo Grażyna zawsze wybierała druga. Na każdy jego wybór jej odpowiedź wygrywała:
- Janusz OOO, Grażyna ROO: Grażyna wygrywa 7 na 8.
- Janusz OOR, Grażyna ROO: Grażyna wygrywa 3 na 4.
- Janusz ORO, Grażyna OOR: Grażyna wygrywa 2 na 3.
- Janusz RRR, Grażyna ORR: Grażyna wygrywa 7 na 8.
Nie ma najlepszego układu. Jak w papier, kamień, nożyce każdy wybór ma inny, który go pokonuje. Reguła Grażyny: weź dwa pierwsze rzuty Janusza i postaw je na końcu swojego układu, a zacznij od przeciwieństwa jego środkowego rzutu. Przeciw OOR jego dwa pierwsze to OO, a środkowy to O, więc ona wybiera R, O, O. Wygrywa co najmniej 2 razy na 3, za każdym razem. To gra Penneya, nazwana od matematyka Waltera Penneya, który opisał ją w 1969 roku.
Jak często układ drugiego gracza pojawia się pierwszy
Jak wygrać zmywanie
1. Zawsze wybieraj drugi. Bądź uprzejmy. Zaproponuj przeciwnikowi pierwszy wybór.
2. Zastosuj regułę. Przeciwieństwo jego środkowego rzutu, a potem jego dwa pierwsze rzuty. Działa dla każdego układu trzech.
3. Zapamiętaj lekcję. „Tak samo prawdopodobne” dla ustalonych rzutów to nie to samo co „tak samo prawdopodobne, że wypadnie pierwsze”. Zadane pytanie zmienia odpowiedź.
Gdzie to kosztuje pieniądze
Gdy ktoś proponuje ci grę, zakład albo umowę, w której wybiera po tym, jak zobaczy twój wybór, kolejność może być warta więcej niż zasady. Na rynku ten, kto widzi twoje zlecenie, zanim ustali cenę, ma wersję przewagi Grażyny. A nasze wyczucie losowych ciągów jest na tyle zawodne, że „powinno być pół na pół” warto sprawdzić, zanim zależą od tego pieniądze.
Morał
Grażyna wyjaśniła sztuczkę. Janusz słuchał uważnie i zażądał, żeby od teraz on wybierał drugi. Grażyna się zgodziła i wybrała pierwsza: ORO. Janusz zastosował regułę, wybrał OOR i przez miesiąc wygrywał 2 razy na 3. Potem Grażyna zauważyła, że regułę wymyślił matematyk, grafik zmywania wymyśliła ona, i od teraz będą się zmieniać co tydzień. Janusz został przy rękawiczkach.
Prawdopodobieństwa są dokładne dla uczciwej monety; każdy pojedynek sprawdziliśmy na 200 000 symulowanych gier. Treść edukacyjna, a nie porada finansowa.