Rozkład dwumianowy: jak prawdopodobne jest 6 na 10?

Około 6 minut · Bez strasznych wzorów · Dla każdego, kto zgubił się na zajęciach

W jednym zdaniu: Gdy powtarzasz tę samą próbę typu tak albo nie ustaloną liczbę razy, rozkład dwumianowy mówi, jak prawdopodobna jest każda możliwa liczba sukcesów, więc odróżnisz dobry dzień od prawdziwej poprawy.

Pomysł

Mnóstwo pytań w życiu ma ten sam kształt: próbuję czegoś n razy, każda próba się udaje albo nie, więc ile się uda? Rzuty do kosza, zgadywanie na teście wyboru, nasiona, które wykiełkują, klienci, którzy klikną „kup”. Odpowiedzią nie jest jedna liczba, tylko lista szans: tyle na zero sukcesów, tyle na jeden i tak dalej. Ta lista to rozkład dwumianowy (inaczej rozkład Bernoulliego).

To pierwszy rozkład z nazwy, którego większość kursów uczy po krzywej dzwonowej, i to on po cichu stoi za testem monety z lekcji 8.

Kosz nad garażem

Wujek Janusz ma kosz do koszykówki nad garażem. Przez całe lato ciocia Grażyna prowadzi kreski na kalendarzu w kuchni: Janusz trafia mniej więcej 3 rzuty na 10. Strzelec na 30%.

W niedzielę oddaje 10 rzutów i trafia 6. Ogłasza, że „złapał formę”, i pyta, czy miejscowy klub robi nabór.

Grażyna zadaje zamiast tego pytanie statystyczne: gdyby Janusz nadal trafiał 30%, jak często trafiłby 6 na 10 przez czysty przypadek?

Cztery warunki

Rozkład dwumianowy pasuje, gdy spełnione są wszystkie cztery warunki:

Dwa wyniki: każda próba kończy się sukcesem albo porażką (wpadło albo nie).
Niezależność: jedna próba nie zmienia następnej (lekcja 4).
Ustalona liczba prób: n wybierasz z góry (10 rzutów, a nie „aż mi się znudzi”).
Ta sama szansa: prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane p, jest takie samo w każdej próbie (30%).

Szansa na dokładnie 3 na 10, ręcznie

Rachunek ma dwie części.

Szansa jednej konkretnej kolejności. Na przykład: trafienie, trafienie, trafienie, potem siedem pudeł. To 0,3 × 0,3 × 0,3 × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7, czyli 0,3³ × 0,7⁷ = około 0,0022.
Ile kolejności daje 3 trafienia. Trzy trafienia mogą być w rzutach 1, 2 i 3 albo 1, 5 i 9 i tak dalej. Liczbę sposobów wybrania 3 rzutów z 10 zapisuje się jako „10 po 3” (symbol Newtona) i wynosi ona 120.

Pomnóż: 120 × 0,0022 = około 0,267. Janusz trafia dokładnie 3 na 10 mniej więcej w 27% niedziel. To cały wzór, słowami: liczba kolejności × szansa jednej kolejności.

Cała lista

Zrób to samo dla każdej możliwej liczby trafień, a dostaniesz rozkład dwumianowy dla 10 rzutów przy 30%:

Trafienia na 10	0	1	2	3	4	5	6 lub więcej
Szansa	2,8%	12,1%	23,3%	26,7%	20,0%	10,3%	4,7%

Strzelec na 30% trafia 6 lub więcej w około 4,7% przypadków: mniej więcej w jedną niedzielę na dwadzieścia. Szóstka Janusza jest nietypowa jak na strzelca na 30%, ale nie szokująca, i leży dokładnie na granicy 5% z lekcji 8. Jedna dobra niedziela to powód, żeby liczyć dalej, a nie żeby dzwonić do klubu. Grażyna dorysowała w kalendarzu nową kolumnę.

Średnia i rozrzut bez listy

Dwa skróty oszczędzają mnóstwo pracy:

Średnia liczba sukcesów = n × p. 10 × 0,3 = 3. Dokładnie tyle, ile pokazuje kalendarz.
Odchylenie standardowe = √(n × p × (1 - p)). √(10 × 0,3 × 0,7) = √2,1 = około 1,45. Typowa niedziela to 3 trafienia, plus minus jedno albo dwa.

Przy większej liczbie prób lista zaczyna wyglądać jak krzywa dzwonowa (lekcja 17 tłumaczy dlaczego: liczba sukcesów to suma wielu małych prób typu tak albo nie). Popularna reguła kciuka: gdy zarówno n × p, jak i n × (1 - p) wynoszą co najmniej 10, krzywa dzwonowa jest dobrym skrótem. Przy 100 rzutach i 30% dokładna szansa na 40 lub więcej trafień to 2,1%, a krzywa dzwonowa daje 1,9%. Wystarczająco blisko do większości zastosowań.

Kiedy zawodzi

Szansa się zmienia. Jeśli Janusz rzuca lepiej po rozgrzewce albo gorzej po trzecim piwie, p nie jest takie samo w każdej próbie i lista jest błędna. Kalendarz powinien chyba notować porę dnia.
Próby nie są niezależne. Jeśli jedno pudło sprawia, że następny rzut oddaje w pośpiechu, rzuty są powiązane. Prawdziwe dane często mają więcej serii, niż przewiduje rozkład dwumianowy.
Liczba prób nie jest ustalona. „Będę rzucał, aż trafię 6” to inne pytanie z inną odpowiedzią. Kończenie, gdy wynik wygląda dobrze, to klasyczny sposób, żeby się oszukać.

Spróbuj sam

Kuzyn Seba ma test wyboru z 10 pytaniami, każde z 4 odpowiedziami. Nie uczył się i zgaduje każdą odpowiedź. Do zaliczenia potrzeba 5.

1. Ile średnio trafi? 2. Mniej więcej jaka jest szansa, że zaliczy? 3. Co jest bardziej prawdopodobne: że trafi zero, czy że zaliczy?

Pokaż odpowiedź

1. n × p = 10 × 0,25 = 2,5.

2. Suma szans dwumianowych dla 5, 6, 7, 8, 9 i 10 dobrych odpowiedzi to około 7,8%, mniej więcej 1 na 13.

3. Zero ma szansę 0,75¹⁰ = około 5,6%, więc zaliczenie jest odrobinę bardziej prawdopodobne, ale oba są mało prawdopodobne. Zgadywanie jest strategią w takim sensie, w jakim płaszcz przeciwdeszczowy jest dachem. A gdyby zgadywała cała grupa 30 osób, zaliczyłyby mniej więcej dwie, i tak paru szczęściarzy nabiera przekonania, że rozumie materiał.

Słowa, których używa wykładowca

Wykładowca mówi	To znaczy
Próba Bernoulliego	Jedna próba z dwoma wynikami, sukcesem albo porażką
Rozkład dwumianowy B(n, p)	Szanse każdej możliwej liczby sukcesów w n niezależnych próbach, każda z szansą sukcesu p
Funkcja prawdopodobieństwa	Lista szans dla każdej dokładnej liczby (tabela wyżej)
Symbol Newtona, „n po k”	Liczba sposobów wybrania, które k z n prób to sukcesy
Prawdopodobieństwo skumulowane, P(X ≥ k)	Szansa na k lub więcej sukcesów, liczona przez dodanie pozycji z listy
Wartość oczekiwana np, wariancja np(1 - p)	Skróty na średnią i rozrzut
Przybliżenie rozkładem normalnym	Użycie krzywej dzwonowej zamiast dokładnej listy, gdy n jest duże

Trzy rzeczy do zapamiętania

Ustalona liczba niezależnych prób typu tak albo nie z tą samą szansą: to rozkład dwumianowy.
Dokładnie k sukcesów = liczba kolejności × szansa jednej kolejności. Średnio n × p.
Nietypowy wynik to powód, żeby liczyć dalej. Zmień szansę albo regułę kończenia, a lista przestaje obowiązywać.

Część kursu Statystyka od zera, darmowego kursu dla początkujących od WrongStat. Nie zastąpi wykładowcy, ale mamy nadzieję, że będzie dobrym tłumaczem.