El juego de Penney: cómo la tía Mari Carmen gana a cara o cruz quién friega 2 de cada 3 veces
La versión corta: tres lanzamientos concretos de una moneda justa tienen la misma probabilidad de salir cara-cara-cara que cruz-cara-cara (1 de cada 8). Pero en una carrera para ver qué secuencia aparece primero en una serie de lanzamientos, no son iguales. Contra cara-cara-cara, cruz-cara-cara gana 7 de cada 8 veces. Elijas lo que elijas, el segundo jugador puede elegir una secuencia que te gana al menos 2 de cada 3. El truco: coge los dos primeros lanzamientos del rival, ponlos al final y empieza por lo contrario de su lanzamiento del medio.
El tío Paco y la tía Mari Carmen se juegan a cara o cruz quién friega. Cada uno elige una secuencia de tres lanzamientos. Lanzan hasta que sale una de las dos. El primero cuya secuencia aparezca no friega.
Paco siempre elige primero, porque es el invitado de honor en su propia cocina. Elige cara-cara-cara, porque es «fuerte». Mari Carmen elige cruz-cara-cara. Paco ha fregado once de los últimos doce domingos. Ha empezado a sentarse a comer con los guantes de goma puestos, para ahorrar tiempo.
Todas las secuencias son igual de probables, ¿no?
Si lanzas una moneda justa tres veces, todas las secuencias de tres son igual de probables: CCC, CCX, CXC y las demás tienen una probabilidad de 1 entre 8 cada una (C es cara, X es cruz). Cada lanzamiento es independiente de los demás. Así que un duelo entre dos secuencias debería ser al cincuenta por ciento.
No lo es, porque el duelo no es «qué secuencia sale en tres lanzamientos». Es «qué secuencia aparece primero en una serie larga de lanzamientos», y las secuencias se estorban unas a otras.
Por qué cruz-cara-cara gana a cara-cara-cara
Piensa en cómo puede aparecer CCC. Paco solo gana si los tres primeros lanzamientos son cara: una probabilidad de 1 entre 8. Si sale una cruz en cualquier momento antes de CCC, la siguiente vez que lleguen dos caras seguidas llegarán justo después de una cruz, y eso es X, C, C. La secuencia de Mari Carmen. Llega antes de que pueda salir la tercera cara.
Así que Mari Carmen gana siempre que los tres primeros lanzamientos no sean todos cara: 7 de cada 8 veces. La secuencia «fuerte» de Paco es un pato de feria.
Siempre hay una secuencia mejor
Paco acabó cambiando de secuencia. No le sirvió, porque Mari Carmen siempre elegía segunda. Contra cada elección de él, la respuesta de ella ganaba:
- Paco CCC, Mari Carmen XCC: Mari Carmen gana 7 de cada 8.
- Paco CCX, Mari Carmen XCC: Mari Carmen gana 3 de cada 4.
- Paco CXC, Mari Carmen CCX: Mari Carmen gana 2 de cada 3.
- Paco XXX, Mari Carmen CXX: Mari Carmen gana 7 de cada 8.
No hay una secuencia mejor. Como en piedra, papel o tijera, cada elección tiene otra que la vence. La regla de Mari Carmen: coge los dos primeros lanzamientos de Paco y ponlos al final de la tuya, y empieza por lo contrario de su lanzamiento del medio. Contra CCX, sus dos primeros son CC y el del medio es C, así que ella elige X, C, C. Gana al menos 2 de cada 3 veces, siempre. Es el juego de Penney, por el matemático Walter Penney, que lo describió en 1969.
Cuántas veces la secuencia del segundo jugador sale primero
Cómo librarse de fregar
1. Elige siempre segundo. Sé amable. Ofrece al rival que elija primero.
2. Aplica la regla. Lo contrario de su lanzamiento del medio y luego sus dos primeros. Funciona con cualquier secuencia de tres.
3. Recuerda la lección. «Igual de probable» para unos lanzamientos fijos no es lo mismo que «igual de probable que salga primero». La pregunta que haces cambia la respuesta.
Dónde te cuesta dinero
Cuando alguien te ofrece un juego, una apuesta o un trato en el que elige después de ver tu elección, el orden puede valer más que las reglas. En los mercados, quien ve tu orden antes de fijar su precio tiene una versión de la ventaja de Mari Carmen. Y nuestra intuición sobre las secuencias aleatorias falla lo bastante como para que «debería ser al cincuenta por ciento» merezca una comprobación antes de jugarse dinero.
La moraleja
Mari Carmen le explicó el truco. Paco escuchó con atención y exigió elegir segundo a partir de entonces. Mari Carmen aceptó, y eligió primero: CXC. Paco aplicó la regla, eligió CCX y ganó 2 de cada 3 veces durante un mes. Luego Mari Carmen señaló que la regla la había inventado un matemático, que el turno de fregar lo había inventado ella y que a partir de ahora irían por semanas. Paco se ha quedado con los guantes.
Las probabilidades son exactas para una moneda justa; comprobamos cada duelo con 200.000 partidas simuladas. Contenido educativo, no asesoramiento financiero.