Estadística desde cero · Lección 3 de 22
La dispersión: la misma media, una noche muy distinta
En una frase: La media te dice dónde está el centro y la dispersión te dice lo lejos que se van las cosas de él; dos bares con la misma temperatura media pueden ser una noche agradable o una noche de pasar calor y frío por turnos.
La idea
En la lección 2 encontramos el centro de los datos. Pero el centro es solo la mitad de la historia. Dos conjuntos de números pueden tener exactamente la misma media y no parecerse en nada.
La otra mitad es la dispersión: lo lejos que se van los valores de la media. Poca dispersión significa que todo se queda cerca del centro y la media lo describe bien. Mucha dispersión significa que la media es un sitio en el que casi nadie está de verdad.
Hay dos formas habituales de medirla:
- El rango: el valor más grande menos el más pequeño. Rápido, sencillo y fácil de engañar.
- La desviación típica: más o menos lo lejos que está un valor típico de la media. Cuesta más calcularla y sirve muchísimo más.
Dos bares, una media
El tío Paco tiene dos bares favoritos. La tía Mari Carmen, que lleva un termómetro en el bolso «para estas ocasiones», midió la temperatura en cada uno cinco veces a lo largo de la noche.
El León: 20,5; 21; 21; 21,5 y 21 °C. Media: 21 °C.
La Corona: 13, 29, 16, 26 y 21 °C. Media: también 21 °C.
Sobre el papel, idénticos. En la vida real, El León es una noche agradable. La Corona tiene una chimenea a todo trapo en un extremo y una puerta que nunca termina de cerrar en el otro, así que toda la noche o sudas o estás con el abrigo puesto. Paco se sienta junto a la chimenea. Mari Carmen se sienta junto a la puerta. Los dos dicen que La Corona es «normalita».
La media no distinguió los bares. La dispersión sí. El rango de El León es 21,5 menos 20,5 = 1 grado. El rango de La Corona es 29 menos 13 = 16 grados. El mismo centro, una noche totalmente distinta.
Cinco mediciones de temperatura en cada bar
Por qué el rango no basta
El rango solo mira dos números: el más grande y el más pequeño. Todo lo de en medio se ignora. Por eso un solo valor atípico puede dispararlo. Si alguien abriera una vez el horno en El León y Mari Carmen estuviera midiendo justo al lado, el rango saltaría, aunque las otras cuatro mediciones fueran tranquilísimas.
La desviación típica lo arregla, porque usa todos los valores y no solo los dos más extremos.
La desviación típica, paso a paso
En los libros da miedo. Con palabras son cuatro pasos. Aquí están para La Corona:
- Paso 1. ¿A qué distancia está cada valor de la media? 13 está 8 por debajo de 21. 29 está 8 por encima. 16 está 5 por debajo, 26 está 5 por encima y 21 cae justo en la media. (Fíjate en que si simplemente sumaras «8 por debajo» y «8 por encima», se anularían y saldría cero, como si no hubiera ninguna dispersión.)
- Paso 2. Eleva cada distancia al cuadrado. 8 × 8 = 64, y así con todas: 64, 64, 25, 25 y 0. El cuadrado trata igual «por debajo» que «por encima», así que nada se anula, y las distancias grandes pesan más que las pequeñas.
- Paso 3. Saca la media de los cuadrados. 64 + 64 + 25 + 25 + 0 = 178, dividido entre 5 = 35,6. Este número se llama varianza. Está en «grados al cuadrado», que no le dicen nada a nadie.
- Paso 4. Haz la raíz cuadrada para volver a grados normales. La raíz de 35,6 es más o menos 6.
Así que la desviación típica de La Corona es de unos 6 °C: una medición típica está a unos 6 grados de la media. Haz lo mismo con El León y te sale unos 0,3 °C. Allí una medición típica está a menos de medio grado de la media, y por eso en El León nunca nadie ha tenido que quedarse con el abrigo puesto.
Una regla útil para más adelante: cuando los datos tienen la forma normal de campana (lección 5), unos dos tercios de los valores caen a menos de una desviación típica de la media, y alrededor del 95% a menos de dos.
Para qué le sirve a alguien fuera de clase
Con la dispersión, los estadísticos hablan de regularidad y de riesgo. Dos empresas de mensajería pueden entregar de media en dos días, pero si a una se le van a veces a diez, esa es la que te estropeará el regalo de cumpleaños. En finanzas, la desviación típica de las rentabilidades es la medida habitual de la volatilidad: dos inversiones pueden tener la misma rentabilidad media y que una de ellas dé muchos más bandazos por el camino. Una media sin dispersión es solo media respuesta.
Pruébalo tú
Noche de dardos. En cinco rondas, el tío Paco hizo 40, 45, 50, 55 y 60 puntos. El cuñado hizo 10, 90, 20, 80 y 50.
Calcula la media y el rango de cada uno. Luego la pregunta difícil: el equipo necesita en la última ronda a alguien que haga al menos 40 puntos. ¿A quién eliges? ¿Y si para ganar hacen falta 85?
Ver la respuesta
Medias: Paco, 250 / 5 = 50. El cuñado, 250 / 5 = 50. Idénticas.
Rangos: Paco, 60 menos 40 = 20. El cuñado, 90 menos 10 = 80.
Si quieres también las desviaciones típicas: unos 7 para Paco y unos 32 para el cuñado.
¿Hacen falta al menos 40? Elige a Paco. En toda la noche no bajó de 40. El cuñado bajó dos veces.
¿Hacen falta 85? Ahora elige al cuñado. Lo mejor de Paco son 60, y con tan poca dispersión es muy poco probable que de repente haga 85. El cuñado ya ha hecho 90 una vez. Y te lo va a recordar hasta Navidad.
La misma media, decisiones opuestas. Mucha dispersión es más probabilidad de desastre y más probabilidad de gloria. Cuál quieres depende de lo que necesites, y la media sola no te lo va a decir.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Medidas de dispersión | Números que describen lo repartidos que están los datos |
| Rango (recorrido) | El valor más grande menos el más pequeño |
| Rango intercuartílico (RIC) | El rango de la mitad central de los datos, así que los valores atípicos no lo mueven |
| Desviación | Lo lejos que está un valor de la media |
| Varianza | La media de las desviaciones al cuadrado (paso 3) |
| Desviación típica o estándar (DT, σ o s) | La raíz cuadrada de la varianza: la distancia típica a la media (paso 4) |
| Desviación típica poblacional frente a muestral | Para una muestra, en el paso 3 se divide entre el número de valores menos uno (n menos 1). Eso sube un poco el resultado, porque una muestra suele quedarse corta con la dispersión de la olla entera. Para La Corona da unos 6,7 en lugar de 6,0. |
| Volatilidad | En finanzas: la desviación típica de las rentabilidades, es decir, lo bruscamente que se mueve un precio |
Tres cosas que recordar
- Una media sin dispersión es media respuesta. Pregunta siempre cuánto varían los valores.
- El rango es rápido, pero un solo valor atípico puede estropearlo. La desviación típica usa todos los valores.
- La desviación típica es más o menos «lo lejos que está un valor típico de la media». Pequeña significa regular; grande significa que puede pasar cualquier cosa.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.