Statystyka od zera · Lekcja 19 z 22
Percentyle, kwartyle i wykres pudełkowy: rozkład w jednym rzucie oka
W jednym zdaniu: Percentyle mówią, gdzie wartość stoi w szeregu, kwartyle dzielą szereg na cztery części, a wykres pudełkowy rysuje te podziały, żebyś w jednym obrazku zobaczył środek, rozrzut i dziwaków.
Pomysł
Średnia (lekcja 2) i odchylenie standardowe (lekcja 3) podsumowują dane dwiema liczbami. Ale czasem chcesz wiedzieć, gdzie stoi konkretna wartość albo jak wygląda cały rozrzut, razem z dziwakami. Do tego służą percentyle, kwartyle i wykres pudełkowy.
Wszystkie zaczynają tak samo: ustaw wartości w szeregu od najmniejszej do największej.
Percentyle: gdzie stoisz w szeregu
90. percentyl to wartość, poniżej której leży 90% danych. Jeśli twój wynik z egzaminu jest w 90. percentylu, wypadłeś lepiej niż mniej więcej 90% zdających. Nic to nie mówi o tym, czy wynik był dobry w liczbach bezwzględnych, tylko jak wypada na tle wszystkich innych.
Mediana to po prostu 50. percentyl: połowa poniżej, połowa powyżej.
Liga quizowa w pubie
Drużyna wujka Janusza, Stali Bywalcy, zdobyła w finale ligi 21 punktów. Startowało jedenaście drużyn. Wyniki ustawione w szeregu:
12, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 29, 45
Janusz mówi, że 21 czyni ich „solidną drużyną z górnej połowy”. Drużyna emerytowanych nauczycieli, która zdobyła 45, przez cały wieczór z nikim nie rozmawiała.
Kwartyle ręcznie
Kwartyle dzielą szereg na cztery równe części:
- Mediana (Q2): środkowa z 11 wartości. To szósta: 21. Janusz jest dokładnie w środku, a nie w górnej połowie. Kwestionuje to.
- Kwartyl dolny (Q1): mediana dolnej połowy (12, 15, 17, 18, 20): 17.
- Kwartyl górny (Q3): mediana górnej połowy (23, 24, 26, 29, 45): 26.
Środkowa połowa drużyn zdobyła od 17 do 26 punktów. Szerokość tej środkowej połowy, 26 - 17 = 9, to rozstęp ćwiartkowy (IQR). To miara rozrzutu, która w przeciwieństwie do rozstępu i odchylenia standardowego nie przejmuje się jedną skrajną wartością.
Ostrzeżenie na egzamin: kalkulatory i arkusze kalkulacyjne liczą kwartyle według nieco różnych reguł, zwłaszcza przy małych danych. Arkusz może tu dać 17,5 i 25 zamiast 17 i 26. Używaj metody z twojego kursu i nie panikuj, jeśli program trochę się różni.
Wyłapywanie dziwaka: reguła 1,5 × IQR
Popularna reguła uznaje wartość za obserwację odstającą, jeśli leży dalej niż 1,5 IQR za kwartylami:
- Górna granica: 26 + 1,5 × 9 = 39,5.
- Dolna granica: 17 - 1,5 × 9 = 3,5.
45 nauczycieli jest powyżej 39,5, więc to obserwacja odstająca. Zobacz, co robi ze średnią: średni wynik to 22,7, podciągnięty przez tę jedną drużynę, a mediana zostaje na 21. Kolejne przypomnienie z lekcji 2, że medianę trudniej oszukać.
„Odstająca” nie znaczy „błąd” ani „wyrzuć”. Nauczyciele naprawdę zdobyli 45. Znaczy: „przyjrzyj się jej osobno i zapytaj dlaczego”.
Wykres pudełkowy
Wykres pudełkowy rysuje to wszystko w jednym obrazku. Pudełko rozciąga się od Q1 do Q3 (od 17 do 26), z kreską w środku na wysokości mediany (21). Wąsy sięgają do najdalszych wartości, które nie są odstające (12 na dole, 29 na górze). Obserwacje odstające dostają własną kropkę (45).
W jednym rzucie oka widzisz, gdzie jest środek, jak szeroki jest typowy rozrzut, czy dane przechylają się na jedną stronę (tu górny wąs i obserwacja odstająca sięgają dalej w górę niż w dół) i które wartości są dziwne. Postaw kilka wykresów pudełkowych obok siebie, a porównasz całe grupy naraz, co jest dużo uczciwsze niż porównywanie dwóch średnich.
Spróbuj sam
Na tych samych jedenastu wynikach quizu:
1. Drużyna cioci Grażyny zdobyła 26. W przybliżeniu który to percentyl? 2. Drużyna kuzyna Seby zdobyła 12. Czy 12 to obserwacja odstająca według reguły 1,5 × IQR? 3. Gdyby nauczyciele zdobyli 30 zamiast 45, co by się zmieniło: mediana, IQR czy średnia?
Pokaż odpowiedź
1. 8 z 11 drużyn zdobyło mniej niż 26, więc drużyna Grażyny jest mniej więcej w 73. percentylu (8 ÷ 11). To też dokładnie kwartyl górny: górna ćwiartka, na styk.
2. Nie. Dolna granica to 3,5, a 12 jest powyżej. Nisko, ale w normalnym rozrzucie. Seba poczuje ulgę, a może rozczarowanie.
3. Zmieniłaby się tylko średnia (spadłaby z około 22,7 do 21,4). Mediana zostaje 21, a kwartyle 17 i 26, bo liczą się dla nich tylko pozycje w szeregu, a nie to, jak skrajna jest najwyższa wartość. A 30 nie byłoby już obserwacją odstającą.
Słowa, których używa wykładowca
| Wykładowca mówi | To znaczy |
|---|---|
| Percentyl (p-ty percentyl) | Wartość, poniżej której leży p% danych |
| Kwartyle (Q1, Q2, Q3) | 25., 50. i 75. percentyl; Q2 to mediana |
| Rozstęp ćwiartkowy (IQR) | Q3 minus Q1: rozrzut środkowej połowy danych |
| Podsumowanie pięcioliczbowe | Minimum, Q1, mediana, Q3 i maksimum |
| Wykres pudełkowy (skrzynkowy) | Wykres podsumowania pięcioliczbowego z osobno zaznaczonymi obserwacjami odstającymi |
| Obserwacja odstająca (reguła 1,5 × IQR) | Wartość dalej niż 1,5 IQR poniżej Q1 albo powyżej Q3 |
| Statystyka odporna | Taka, której nie wytrąca z równowagi kilka skrajnych wartości, jak mediana i IQR |
Trzy rzeczy do zapamiętania
- Percentyl mówi, gdzie wartość stoi na tle innych, a nie czy jest dobra.
- Mediana i IQR ignorują skrajne wartości; średnia i odchylenie standardowe nie.
- Obserwacja odstająca to wartość do zbadania, a nie automatycznie do usunięcia.
Część 2 na razie
Lekcje 11-19 wychodzą poza podstawy: prawdopodobieństwa zależne od tego, co wiesz, proste przez dane, wartość zakładu, porównywanie średnich, dwa sposoby, na jakie test może zawieść, testowanie liczebności, dlaczego średnie układają się w dzwon, jak sumy potrafią mylić i czytanie całego rozkładu w jednym rzucie oka. Razem z lekcjami 1-10 to większość tego, co obejmuje pierwszy kurs statystyki, wytłumaczona bez paniki.
Część kursu Statystyka od zera, darmowego kursu dla początkujących od WrongStat. Nie zastąpi wykładowcy, ale mamy nadzieję, że będzie dobrym tłumaczem.