Estadística desde cero · Lección 20 de 22
La distribución binomial: ¿qué probabilidad hay de 6 de 10?
En una frase: Cuando repites el mismo intento de sí o no un número fijo de veces, la distribución binomial te dice qué probabilidad tiene cada número posible de éxitos, para distinguir un buen día de una mejora real.
La idea
Muchas preguntas de la vida tienen la misma forma: intento algo n veces, cada intento sale bien o mal, ¿cuántos saldrán bien? Tiros a canasta, respuestas adivinadas en un examen tipo test, semillas que germinan, clientes que pulsan «comprar». La respuesta no es un número, sino una lista de probabilidades: tanta de ningún éxito, tanta de uno, y así sucesivamente. Esa lista es la distribución binomial.
Es la primera distribución con nombre que enseñan casi todos los cursos después de la campana, y es la que está discretamente detrás de la prueba de la moneda de la lección 8.
La canasta del garaje
El tío Paco tiene una canasta de baloncesto encima del garaje. Durante todo el verano, la tía Mari Carmen ha llevado la cuenta con palitos en el calendario de la cocina: Paco mete más o menos 3 tiros de cada 10. Un tirador del 30%.
El domingo tira 10 veces y mete 6. Anuncia que «ha encontrado su tiro» y pregunta si el equipo del pueblo hace pruebas.
Mari Carmen hace una pregunta estadística: si Paco siguiera siendo un tirador del 30%, ¿con qué frecuencia metería 6 de 10 por pura suerte?
Las cuatro condiciones
La distribución binomial encaja cuando se cumplen las cuatro:
- Dos resultados: cada intento acaba en éxito o en fracaso (entra o no entra).
- Independencia: un intento no cambia el siguiente (lección 4).
- Número fijo: n se decide de antemano (10 tiros, no «hasta que me aburra»).
- Misma probabilidad: la probabilidad de éxito, llamada p, es la misma en cada intento (30%).
La probabilidad de exactamente 3 de 10, a mano
El cálculo tiene dos partes.
- La probabilidad de un orden concreto. Por ejemplo: dentro, dentro, dentro y luego siete fallos. Eso es 0,3 × 0,3 × 0,3 × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7, es decir, 0,3³ × 0,7⁷ = unos 0,0022.
- Cuántos órdenes dan 3 aciertos. Los tres aciertos pueden ser los tiros 1, 2 y 3, o el 1, el 5 y el 9, y así. El número de formas de elegir 3 tiros de 10 se escribe «10 sobre 3» (número combinatorio) y vale 120.
Multiplica: 120 × 0,0022 = unos 0,267. Paco mete exactamente 3 de 10 aproximadamente el 27% de los domingos. Esa es toda la fórmula, en palabras: número de órdenes × probabilidad de un orden.
La lista completa
Haz lo mismo con cada número posible de aciertos y tendrás la distribución binomial de 10 tiros al 30%:
| Aciertos de 10 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 o más |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilidad | 2,8% | 12,1% | 23,3% | 26,7% | 20,0% | 10,3% | 4,7% |
Un tirador del 30% mete 6 o más alrededor del 4,7% de las veces: más o menos un domingo de cada veinte. El 6 de Paco es raro para un tirador del 30%, pero no escandaloso, y cae justo en la línea del 5% de la lección 8. Un buen domingo es motivo para seguir contando, no para llamar al equipo del pueblo. Mari Carmen ha añadido una columna nueva al calendario.
Media y dispersión sin la lista
Dos atajos ahorran mucho trabajo:
- Número medio de éxitos = n × p. 10 × 0,3 = 3. Justo lo que dice el calendario.
- Desviación típica = √(n × p × (1 - p)). √(10 × 0,3 × 0,7) = √2,1 = unos 1,45. Un domingo normal son 3 aciertos, uno o dos arriba o abajo.
Con más intentos, la lista empieza a parecerse a una campana (la lección 17 explica por qué: el número de éxitos es la suma de muchos pequeños intentos de sí o no). Una regla práctica habitual: cuando tanto n × p como n × (1 - p) valen al menos 10, la campana es un buen atajo. Con 100 tiros al 30%, la probabilidad exacta de 40 o más aciertos es del 2,1% y la campana da un 1,9%. Suficientemente cerca para casi todo.
Dónde falla
- La probabilidad cambia. Si Paco tira mejor después de calentar, o peor después de la tercera cerveza, p no es la misma en cada intento y la lista está mal. Quizá el calendario debería apuntar la hora.
- Los intentos no son independientes. Si un fallo le hace precipitar el siguiente tiro, los tiros están conectados. Los datos reales suelen tener más rachas de las que espera la binomial.
- El número de intentos no es fijo. «Seguiré tirando hasta meter 6» es otra pregunta con otra respuesta. Parar cuando el resultado pinta bien es una forma clásica de engañarse.
Pruébalo tú
El cuñado tiene un examen tipo test de 10 preguntas, cada una con 4 opciones. No ha estudiado y adivina todas. Para aprobar hacen falta 5.
1. ¿Cuántas acierta de media? 2. ¿Qué probabilidad aproximada tiene de aprobar? 3. ¿Qué es más probable: acertar cero o aprobar?
Ver la respuesta
1. n × p = 10 × 0,25 = 2,5.
2. Sumando las probabilidades binomiales de 5, 6, 7, 8, 9 y 10 aciertos sale alrededor del 7,8%, más o menos 1 de cada 13.
3. Acertar cero tiene una probabilidad de 0,75¹⁰ = un 5,6%, así que aprobar es un poco más probable, pero las dos cosas son improbables. Adivinar es una estrategia en el mismo sentido en que un chubasquero es un tejado. Y si adivinara una clase entera de 30, aprobarían unos dos, que es como unos cuantos afortunados acaban convencidos de que entendían el temario.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Ensayo de Bernoulli | Un intento con dos resultados, éxito o fracaso |
| Distribución binomial B(n, p) | Las probabilidades de cada número posible de éxitos en n intentos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p |
| Función de probabilidad (de masa) | La lista de probabilidades de cada recuento exacto (la tabla de arriba) |
| Número combinatorio, «n sobre k» | El número de formas de elegir cuáles de los n intentos son los k éxitos |
| Probabilidad acumulada, P(X ≥ k) | La probabilidad de k o más éxitos, sumando la lista |
| Media np, varianza np(1 - p) | Los atajos para la media y la dispersión |
| Aproximación normal | Usar una campana en lugar de la lista exacta cuando n es grande |
Tres cosas para recordar
- Número fijo de intentos independientes de sí o no con la misma probabilidad: eso es binomial.
- Exactamente k éxitos = número de órdenes × probabilidad de un orden. De media, n × p.
- Un resultado raro es motivo para seguir contando. Si cambias la probabilidad o la regla de parada, la lista deja de valer.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.