Estadística desde cero · Lección 19 de 22
Percentiles, cuartiles y diagrama de caja: una distribución de un vistazo
En una frase: Los percentiles te dicen dónde está un valor en la fila, los cuartiles cortan la fila en cuatro, y un diagrama de caja dibuja esos cortes para que veas el centro, la dispersión y los raros en una sola imagen.
La idea
La media (lección 2) y la desviación típica (lección 3) resumen los datos en dos números. Pero a veces quieres saber dónde está un valor concreto, o cómo es toda la dispersión, incluidos los raros. Para eso sirven los percentiles, los cuartiles y los diagramas de caja.
Todos empiezan igual: pon los valores en fila, del más pequeño al más grande.
Percentiles: dónde estás en la fila
El percentil 90 es el valor por debajo del cual queda el 90% de los datos. Si tu nota de examen está en el percentil 90, sacaste más que alrededor del 90% de quienes lo hicieron. No dice nada de si la nota era buena en términos absolutos, solo de cómo se compara con todos los demás.
La mediana es simplemente el percentil 50: la mitad por debajo, la mitad por encima.
La liga de concursos del bar
El equipo del tío Paco, Los de Siempre, sacó 21 puntos en la final de la liga. Participaron once equipos. Los resultados, en fila:
12, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 29, 45
Paco dice que 21 los convierte en «un equipo sólido de la mitad de arriba». El equipo de maestros jubilados que sacó 45 no ha hablado con nadie en toda la noche.
Cuartiles a mano
Los cuartiles cortan la fila en cuatro partes iguales:
- La mediana (Q2): el valor del centro de los 11. Es el sexto: 21. Paco está justo en el medio, no en la mitad de arriba. Lo discute.
- El cuartil inferior (Q1): la mediana de la mitad de abajo (12, 15, 17, 18, 20): 17.
- El cuartil superior (Q3): la mediana de la mitad de arriba (23, 24, 26, 29, 45): 26.
La mitad central de los equipos sacó entre 17 y 26. La anchura de esa mitad central, 26 - 17 = 9, es el rango intercuartílico (RIC). Es una medida de dispersión que, a diferencia del rango o la desviación típica, no se inmuta por un valor extremo.
Aviso para el examen: calculadoras y hojas de cálculo usan reglas algo distintas para los cuartiles, sobre todo con pocos datos. Una hoja de cálculo podría dar aquí 17,5 y 25 en lugar de 17 y 26. Usa el método de tu curso y no te asustes si el programa difiere un poco.
Detectar al raro: la regla de 1,5 × RIC
Una regla habitual marca un valor como atípico si está a más de 1,5 RIC más allá de los cuartiles:
- Límite superior: 26 + 1,5 × 9 = 39,5.
- Límite inferior: 17 - 1,5 × 9 = 3,5.
El 45 de los maestros está por encima de 39,5, así que es un valor atípico. Fíjate en lo que le hace a la media: la puntuación media es 22,7, subida por ese único equipo, mientras que la mediana se queda en 21. Otro recordatorio de la lección 2 de que la mediana es más difícil de engañar.
«Atípico» no significa «error» ni «tíralo». Los maestros sacaron 45 de verdad. Significa «míralo aparte y pregunta por qué».
El diagrama de caja
Un diagrama de caja dibuja todo esto en una imagen. Una caja va de Q1 a Q3 (de 17 a 26), con una línea dentro en la mediana (21). Los bigotes llegan hasta los valores más lejanos que no son atípicos (12 abajo, 29 arriba). Los atípicos tienen su propio punto (45).
De un vistazo ves dónde está el centro, lo ancha que es la dispersión típica, si los datos se inclinan hacia un lado (aquí el bigote de arriba y el atípico se estiran más hacia arriba que hacia abajo) y qué valores son raros. Pon varios diagramas de caja uno al lado de otro y compararás grupos enteros a la vez, algo mucho más honesto que comparar dos medias.
Pruébalo tú
Con los mismos once resultados del concurso:
1. El equipo de la tía Mari Carmen sacó 26. ¿En qué percentil está, más o menos? 2. El equipo del cuñado sacó 12. ¿Es 12 un valor atípico según la regla de 1,5 × RIC? 3. Si los maestros hubieran sacado 30 en lugar de 45, ¿qué cambiaría: la mediana, el RIC o la media?
Ver la respuesta
1. 8 de los 11 equipos sacaron menos de 26, así que el equipo de Mari Carmen está más o menos en el percentil 73 (8 ÷ 11). También es justo el cuartil superior: cuarto de arriba, por los pelos.
2. No. El límite inferior es 3,5, y 12 está por encima. Bajo, pero dentro de la dispersión normal. El cuñado se sentirá aliviado, o quizá decepcionado.
3. Solo cambiaría la media (bajaría de unos 22,7 a 21,4). La mediana se queda en 21 y los cuartiles en 17 y 26, porque solo les importan las posiciones en la fila, no lo extremo que sea el valor más alto. Y 30 ya no sería atípico.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Percentil (percentil p) | El valor por debajo del cual queda el p% de los datos |
| Cuartiles (Q1, Q2, Q3) | Los percentiles 25, 50 y 75; Q2 es la mediana |
| Rango intercuartílico (RIC) | Q3 menos Q1: la dispersión de la mitad central de los datos |
| Resumen de cinco números | Mínimo, Q1, mediana, Q3 y máximo |
| Diagrama de caja (de caja y bigotes) | Un gráfico del resumen de cinco números, con los atípicos aparte |
| Valor atípico (regla de 1,5 × RIC) | Un valor a más de 1,5 RIC por debajo de Q1 o por encima de Q3 |
| Estadístico robusto | Uno al que no desequilibran unos pocos valores extremos, como la mediana y el RIC |
Tres cosas para recordar
- Un percentil te dice dónde está un valor comparado con los demás, no si es bueno.
- La mediana y el RIC ignoran los valores extremos; la media y la desviación típica no.
- Un valor atípico es algo para investigar, no automáticamente algo para borrar.
La parte 2, por ahora
Las lecciones 11 a 19 van más allá de lo básico: probabilidades que dependen de lo que sabes, rectas a través de los datos, lo que vale una apuesta, comparar medias, las dos formas en que puede fallar una prueba, probar recuentos, por qué las medias forman campanas, cómo los totales pueden engañar y leer una distribución entera de un vistazo. Junto con las lecciones 1 a 10, es la mayor parte de lo que cubre un primer curso de estadística, explicado sin pánico.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.