Statystyka od zera · Lekcja 26 z 31
Histogramy i kształt danych: skośność, garby i ogony
W jednym zdaniu: Histogram liczy, ile wartości wpada do każdego przedziału, a jego kształt (symetryczny, skośny, dwugarbny) mówi, której średniej ufać, zanim cokolwiek policzysz.
Pomysł
Listę liczb trudno się czyta. Histogram zamienia ją w obrazek: dzielisz zakres wartości na równe kawałki, zwane przedziałami (albo klasami), liczysz, ile wartości wpada do każdego, i rysujesz słupek dla każdej liczby. Wysokie słupki pokazują, gdzie mieszka większość wartości, niskie, gdzie są rzadkie.
Nie chodzi o same słupki. Chodzi o kształt, który tworzą. Kształt mówi, czy średnia jest uczciwym podsumowaniem, czy są dziwne wartości i czy przypadkiem nie mieszasz dwóch różnych grup. I to przed jakimkolwiek wzorem.
Wujek Janusz mierzy pizzę
Pizzeria na rogu obiecuje „dostawę w około 30 minut”. Wujek Janusz, który ma stoper i poglądy, zmierzył ostatnie 20 zamówień. „Średnio 30 minut”, przyznaje. „Czyli są uczciwi”.
Ciocia Grażyna pamięta to inaczej: zwykle jest szybciej, a raz, w śnieżycę, trwało to ponad godzinę.
Oboje mają rację. Oto 20 czasów Janusza w minutach: 18, 20, 21, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 35, 41, 52, 75. Policzmy je w przedziałach co 10 minut:
| Czas dostawy | Zamówienia |
|---|---|
| 10 do 19 minut | 1 |
| 20 do 29 minut | 13 |
| 30 do 39 minut | 3 |
| 40 do 49 minut | 1 |
| 50 do 59 minut | 1 |
| 60 do 69 minut | 0 |
| 70 do 79 minut | 1 |
Narysuj to jako słupki, a dostaniesz wysoki blok po lewej i długi, cienki ogon ciągnący się w prawo. Większość dostaw trwa od 20 do 29 minut; 75% przyjeżdża w ciągu 30. Ale śnieżne 75 minut podciąga średnią do 30 (dokładnie 29,95), a mediana (lekcja 2) stoi na 25,5. Usuń 75, a średnia spadnie do 27,6, a mediana prawie się nie ruszy (25). „Zwykle szybciej” Grażyny to mediana; „30” Janusza to średnia podparta jednym złym wieczorem.
Histogram 20 czasów dostawy pizzy (przedziały co 10 minut)
Cztery kształty, które warto znać
- Symetryczny: jeden garb pośrodku, obie strony podobne, jak wzrost albo krzywa dzwonowa (lekcja 5). Średnia i mediana są blisko; obie się nadają.
- Prawoskośny (skośność dodatnia): garb po lewej i długi ogon w prawo. Czasy oczekiwania, dochody, ceny mieszkań, pizza Janusza. Średnia jest ciągnięta w stronę ogona, powyżej mediany.
- Lewoskośny (skośność ujemna): lustrzane odbicie, z ogonem w lewo. Wyniki łatwego egzaminu: większość blisko maksimum, kilka osób daleko w dole. Średnia leży poniżej mediany.
- Dwugarbny (dwumodalny): zwykle znak, że zmieszano dwie różne grupy, jak klientów w porze lunchu i wieczorem albo dwóch dostawców, z których jeden jest szybki, a drugi się gubi. Jedna średnia nie opisuje tu nikogo.
Przydatna reguła: ogon pokazuje, dokąd uciekła średnia. Jeśli średnia jest wyraźnie powyżej mediany, spodziewaj się ogona w prawo; wyraźnie poniżej, ogona w lewo.
Szerokość przedziałów zmienia obraz
Te same 20 liczb wygląda inaczej przy innych przedziałach. Przy przedziałach co 5 minut garb dzieli się na 20 do 24 minut (7 zamówień) i 25 do 29 (6), a ogon zamienia się w rozsypane pojedyncze słupki z przerwami. Przy przedziałach co 30 minut prawie wszystko wpada do jednego słupka i ogon znika. Za mało przedziałów ukrywa kształt; za dużo zamienia go w szum. Nie ma jednej dobrej odpowiedzi, więc wypróbuj kilka i podejrzliwie patrz na każdego, kto pokazuje tylko jeden.
Gdzie kształt ma znaczenie
- Wybór średniej. Przy skośnych danych mediana zwykle lepiej opisuje typowy przypadek (lekcja 2).
- Wyłapywanie dziwaków. Słupek daleko od reszty warto sprawdzić: prawdziwa skrajność czy literówka (lekcja 19).
- Przed testem. Wiele testów, w tym test t (lekcja 14), zakłada dane z grubsza w kształcie dzwonu albo duże próby. Histogram to najszybsze sprawdzenie.
- Rynki. Dzienne zwroty z akcji pośrodku wyglądają z grubsza jak dzwon, ale mają grubsze ogony, niż dopuszcza krzywa dzwonowa: duże ruchy zdarzają się dużo częściej, niż ona przewiduje.
Spróbuj sam
Firma podaje, że średnia miesięczna pensja jej 50 pracowników to 14 000 zł. Mediana wynosi 7 600 zł.
1. Jaki kształt miałby najpewniej histogram pensji? 2. Która liczba lepiej opisuje typowego pracownika i dlaczego?
Pokaż odpowiedź
1. Prawoskośny: większość pensji skupiona niżej i długi ogon kilku bardzo wysokich (pewnie kierownictwa). Średnia jest dużo powyżej mediany, a ogon pokazuje, dokąd uciekła średnia.
2. Mediana, 7 600 zł: połowa pracowników zarabia mniej, połowa więcej. Średnią podciąga garstka wysokich pensji i nie opisuje prawie nikogo. Histogram pokazałby to od razu.
Słowa, których używa wykładowca
| Wykładowca mówi | To znaczy |
|---|---|
| Histogram | Słupki pokazujące, ile wartości wpada do każdego przedziału równej szerokości |
| Przedział klasowy (klasa) | Jeden z tych przedziałów, na przykład 20 do 29 minut |
| Liczebność (częstość względna) | Liczba wartości w przedziale (albo jej udział we wszystkich) |
| Rozkład | Ogólny wzór tego, gdzie wypadają wartości |
| Skośność dodatnia (prawostronna) | Długi ogon w prawo; średnia powyżej mediany |
| Skośność ujemna (lewostronna) | Długi ogon w lewo; średnia poniżej mediany |
| Jednomodalny, dwumodalny | Jeden garb, dwa garby |
| Ogony | Cienkie końce rozkładu, gdzie mieszkają rzadkie wartości |
Trzy rzeczy do zapamiętania
- Zanim cokolwiek uśrednisz, spójrz na histogram. Kształt decyduje, które podsumowanie jest uczciwe.
- Ogon pokazuje, dokąd uciekła średnia: skośność prawostronna podnosi średnią powyżej mediany.
- Dwa garby zwykle oznaczają dwie grupy. Rozdziel je, zanim zaczniesz podsumowywać.
Część kursu Statystyka od zera, darmowego kursu dla początkujących od WrongStat. Nie zastąpi wykładowcy, ale mamy nadzieję, że będzie dobrym tłumaczem.