Estadística desde cero · Lección 11 de 22
Probabilidad condicionada y teorema de Bayes, explicados con una alarma de coche
En una frase: La probabilidad de algo depende de lo que ya sabes, y cuando ese algo es raro, incluso una alarma muy precisa suele ser una falsa alarma.
La idea
La mayoría de las probabilidades de la vida real llevan una condición pegada: la probabilidad de lluvia si hay nubes negras, la de que una acción baje si ha salido una mala noticia, la de un robo si la alarma está pitando. Ese «si» lo cambia todo, y ahí es donde se equivoca casi todo el mundo, incluidos bastantes expertos.
El error clásico es confundir dos preguntas que suenan igual: «¿cuántas veces suena la alarma cuando hay un ladrón?» y «¿cuántas veces hay un ladrón cuando suena la alarma?». Las respuestas pueden ser muy distintas.
La alarma del tío Paco
El tío Paco le ha puesto una alarma nueva al coche. La caja dice que detecta el 99% de los intentos de robo. Paco está encantado. Cada vez que suena de noche, sale a la calle en bata, con una linterna y el palo de la fregona, que nunca ha usado para fregar.
Este año lo ha hecho 34 veces. Ha encontrado: el viento, un gato, otra vez el viento, al cuñado y, una noche memorable, un erizo. Ningún ladrón.
Paco ha concluido que la alarma está rota. No lo está. Funciona exactamente como dice la caja. Paco simplemente respondió a la pregunta equivocada.
Cuenta personas, no porcentajes
Los porcentajes de porcentajes confunden a cualquiera. Los recuentos no. Así que imagina 10.000 noches en la calle de Paco y supón que:
- Un intento de robo real pasa 1 noche de cada 1000. Son 10 noches.
- La alarma detecta el 99% de los intentos reales: suena en unas 10 de esas 10 noches.
- Pero también suena por error el 5% de las noches tranquilas (viento, gatos, erizos). Hay 9990 noches tranquilas, así que son unas 500 falsas alarmas.
La alarma suena unas 510 noches, y solo unas 10 son de verdad. Cuando Paco la oye, la probabilidad de que haya un ladrón es de unas 10 de 510, más o menos un 2%. La alarma acierta el 99% de las veces que hay un ladrón y se equivoca el 98% de las veces que suena.
Las dos frases son ciertas. Responden a preguntas distintas. Y están tan lejos porque los robos de verdad son raros. Cuando buscas algo raro, las falsas alarmas del montón enorme de noches normales tapan a las verdaderas.
Eso es el teorema de Bayes
Lo que acabas de hacer tiene un nombre famoso: el teorema de Bayes. Es una regla para actualizar una creencia cuando llega una prueba nueva. Empiezas con lo frecuente que es algo antes de cualquier prueba (la frecuencia de base, o probabilidad a priori: 1 noche de cada 1000), miras lo bien que la prueba separa los casos (99% detectados, 5% de falsas alarmas) y terminas con la probabilidad actualizada (alrededor del 2%).
La fórmula del libro hace exactamente esa cuenta, con letras. Si la fórmula te asusta, no la uses. Imagina 10.000 personas o noches, repártelas y lee el resultado. Los estadísticos lo llaman «frecuencias naturales», y muchos comprueban así sus propias cuentas.
Dónde se esconde en la vida real
- Filtros de spam que marcan los correos de tu tía, porque hay muchos más correos normales que spam.
- Arcos de seguridad del aeropuerto que pitan con las hebillas de los cinturones todo el día.
- Señales de bolsa: un indicador que «saltó antes de 9 de los últimos 10 cracs» suena increíble. Pero los cracs son raros. Si también salta el 5% de los días normales, casi cada vez que salta no pasa nada. Pregunta cuántas veces salta sin que pase nada después. Probamos una versión de esto con la rodilla del abuelo.
Pruébalo tú
La tía Mari Carmen recibe 1000 correos al mes. El 10% son spam. Su filtro detecta el 90% del spam, pero también marca por error el 2% de los correos normales.
De los correos que acaban en la carpeta de spam, ¿qué parte es spam de verdad? ¿Y de los que se quedan en la bandeja de entrada, qué parte es spam?
Ver la respuesta
Cuéntalos. 100 son spam: el filtro marca 90 y se le escapan 10. 900 son normales: marca por error el 2%, que son 18.
En la carpeta de spam hay 90 + 18 = 108 correos, de los que 90 son spam: alrededor del 83%. Más o menos 1 de cada 6 correos del spam es correo de verdad, y por eso la invitación de boda de su prima acabó ahí.
En la bandeja hay 10 de spam y 882 normales, 892 en total, así que solo un 1,1% es spam. Aquí el spam es mucho más frecuente que los ladrones, así que el filtro funciona mucho mejor que la alarma de Paco. La misma clase de herramienta, una frecuencia de base muy distinta.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Probabilidad condicionada, P(A | B) | La probabilidad de A sabiendo que ha pasado B. La barra se lee «dado que» |
| Teorema de Bayes | La regla para pasar de P(B | A) a P(A | B) usando la frecuencia de base |
| Probabilidad a priori (frecuencia de base) | Lo probable que es algo antes de ver la prueba nueva |
| Probabilidad a posteriori | Lo probable que es después de tener en cuenta la prueba |
| Sensibilidad | Cuántas veces la prueba dice «sí» cuando la respuesta es de verdad «sí» (el 99% de la alarma) |
| Tasa de falsos positivos | Cuántas veces dice «sí» cuando la respuesta es de verdad «no» (el 5% de las noches tranquilas) |
| Falacia de la frecuencia de base | Ignorar lo raro que es algo, y por eso fiarse demasiado de un resultado positivo |
Tres cosas para recordar
- «¿Cuántas veces dice sí la prueba cuando es verdad?» y «¿cuántas veces es verdad cuando la prueba dice sí?» son preguntas distintas.
- Cuando buscas algo raro, la mayoría de las alarmas son falsas, incluso con una buena prueba.
- Si la fórmula te lía, cuenta 10.000 casos imaginarios y repártelos. Es la misma matemática.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.