Estadística desde cero · Lección 6 de 22
Por qué las encuestas solo preguntan a unas 1000 personas
En una frase: Una muestra bien removida de unas 1000 personas describe a todo un país con un margen de unos 3 puntos, porque lo que importa es el tamaño de la cucharada, no el tamaño de la olla.
La idea
Cada vez que una encuesta dice que «se preguntó a 1000 personas», alguien escribe en los comentarios: «En España vivimos casi 49 millones de personas. ¿Qué van a decir 1000?»
Vuelve a la olla de lentejas de la lección 1. Si la olla está bien removida, una cucharada te dice lo salada que está. Y aquí viene la sorpresa: da igual que sea un cazo o una piscina. Una cucharada bien removida de una piscina de lentejas te dice exactamente lo mismo que una cucharada de un cazo. Lo que importa es el tamaño de la cucharada, no el tamaño de la olla.
Esa es la clave de esta lección: la precisión de una muestra depende de lo grande que sea la muestra, no de lo grande que sea la población. (Siempre que la muestra sea de verdad aleatoria. Guarda esa idea.)
La encuesta del tío Paco sobre sus lentejas
Después del desastre de la comida del domingo, el tío Paco quiere demostrar que sus lentejas gustan. Pregunta a 10 personas en el bar. A 7 les gustan.
«Un 70% de aprobación», anuncia Paco. «Más que cualquier político.»
La tía Mari Carmen le señala que si preguntara a otras 10 personas, le podrían salir perfectamente 5 síes. O 9. Con solo 10 personas, un par de respuestas hacia un lado u otro mueven el resultado 20 puntos.
Ese bailar del resultado de una muestra a otra se llama error de muestreo. No es un fallo de nadie. Es simplemente la suerte de quién te ha tocado. La buena noticia: se hace más pequeño de una forma totalmente predecible cuando la muestra crece.
El margen de error
Las encuestas suelen dar un margen de error, por ejemplo «más o menos 3 puntos». Significa: nuestra cifra probablemente está a menos de 3 puntos de lo que saldría si preguntáramos absolutamente a todo el mundo. («Probablemente» aquí quiere decir el 95% de las veces. La lección 9 explica qué significa eso exactamente.)
Para una pregunta de sí o no en la que la respuesta anda cerca del cincuenta por ciento, el margen de error depende casi solo del tamaño de la muestra:
| Personas encuestadas | Margen de error (aproximado) |
|---|---|
| 10 | más o menos 31 puntos |
| 100 | más o menos 10 puntos |
| 1000 | más o menos 3 puntos |
| 4000 | más o menos 1,5 puntos |
Fíjate en el patrón. Pasar de 10 a 1000 personas te lleva de inútil a bastante bueno. Pero para volver a reducir el error a la mitad, de 3 a 1,5 puntos, necesitas cuatro veces más personas. El error baja con la raíz cuadrada del tamaño de la muestra: cuatro veces más personas dan la mitad de error, cien veces más personas dan diez veces menos.
Por eso las encuestas se quedan en unas 1000. Preguntar a 4000 personas cuesta cuatro veces más y solo te da 1,5 puntos de precisión. Para la mayoría de las preguntas, 3 puntos bastan, y es mejor gastar el dinero en asegurarse de que la muestra es aleatoria de verdad.
Margen de error en una pregunta de sí o no con resultado cerca del 50/50
El error típico
Tu profesor llamará al tamaño de ese bailoteo el error típico (o error estándar). Es la desviación típica de la lección 3, pero para el resultado de la muestra en lugar de para valores sueltos. Imagina que haces la misma encuesta mil veces, cada vez con 1000 personas nuevas al azar. Tendrías mil respuestas un poco distintas, y formarían una campana de Gauss (lección 5). El error típico es la desviación típica de esa campana. El margen de error son más o menos dos errores típicos, porque el 95% de la campana está a menos de dos desviaciones típicas del centro.
La fórmula es corta: error típico = desviación típica de los datos ÷ raíz cuadrada del tamaño de la muestra. No hace falta que te la aprendas. Lo que hace falta es recordar lo que dice: más datos, menos bailoteo, pero cada tanda extra aporta menos que la anterior.
El tamaño nunca arregla el sesgo
Y ahora la idea que habíamos guardado. Todo lo anterior supone que la muestra es aleatoria. Si no lo es, una muestra más grande solo te da más seguridad sobre la respuesta equivocada.
El ejemplo clásico viene de las elecciones presidenciales de EE. UU. de 1936. Una revista popular envió millones de papeletas, sobre todo a gente sacada de guías telefónicas y de listas de propietarios de coches, y recibió unos 2,4 millones de vuelta. Predijo con mucha seguridad que ganaría el aspirante. Franklin D. Roosevelt ganó en 46 de los 48 estados. En 1936, la gente con teléfono y coche era de media mucho más acomodada que el resto, y los que se molestaban en devolver la papeleta tampoco eran típicos. Los dos grupos tiraban hacia el mismo lado. Casi dos millones y medio de cucharadas, todas de la parte de arriba de la olla.
Para qué le sirve a alguien fuera de clase
Las mismas matemáticas valen para todo lo que se mide con una muestra: un ensayo de un medicamento, la valoración media de un producto o una estrategia de trading probada con unas pocas decenas de operaciones. Una estrategia que ganó el 60% de 20 operaciones bien podría ser una moneda con suerte: una estrategia del cincuenta por ciento pura lo hace igual de bien o mejor más o menos una vez de cada cuatro. Las muestras pequeñas dan cifras espectaculares. Por eso cada prueba de esta web dice en cuántas operaciones se basa.
Pruébalo tú
El cuñado tiene una idea para una app. Pregunta a 50 personas elegidas al azar en su ciudad, y el 60% dice que pagaría por ella. El cuñado está listo para dejar el trabajo.
Con la regla aproximada de arriba: ¿en qué rango está probablemente el resultado real para toda la ciudad? ¿Y a cuántas personas tendría que preguntar el cuñado para bajar el margen a unos 3 puntos?
Ver la respuesta
Con 50 personas y un resultado del 60%, el margen de error sale de más o menos 14 puntos. Así que el resultado real está probablemente en algún punto entre más o menos el 46% y el 74%. Puede ser una idea genial o lanzar una moneda. Cincuenta personas no pueden distinguirlo.
Para bajar a unos 3 puntos, el cuñado necesita más o menos 1000 personas, las mismas que una encuesta nacional. Da igual que su ciudad sea mucho más pequeña que el país.
Y una pregunta más para el cuñado: «¿pagarías por esto?» no es lo mismo que pagar. Es otro tipo de sesgo, y ese tampoco lo arregla ningún tamaño de muestra.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Tamaño muestral (n) | A cuántas personas o cosas has medido |
| Error de muestreo | El bailoteo natural del resultado de una muestra aleatoria a otra. No es un fallo, es suerte |
| Distribución muestral | La campana que obtendrías repitiendo la misma muestra muchas veces |
| Error típico o estándar (EE) | La desviación típica de esa campana: cuánto baila normalmente el resultado de una muestra |
| Margen de error | Más o menos dos errores típicos: el «más o menos» de una encuesta |
| Ley de la raíz cuadrada | Una muestra cuatro veces más grande da la mitad de error |
| Teorema central del límite | El motivo por el que aparece la campana: las medias de muestras aleatorias forman una campana aunque los datos no la formen |
| Errores ajenos al muestreo | Errores que una muestra más grande no arregla: sesgo, preguntas mal hechas, gente que no dice la verdad |
Tres cosas que recordar
- La precisión depende del tamaño de la muestra, no del tamaño de la población. Una buena cucharada sirve para cualquier olla.
- El error baja con la raíz cuadrada del tamaño de la muestra: cuatro veces más datos, la mitad de error. Unas 1000 personas dan más o menos 3 puntos arriba o abajo.
- Una muestra más grande nunca arregla una muestra sesgada. Dos millones de cucharadas malas siguen siendo cucharadas malas.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.