Estadística desde cero · Lección 13 de 22
Valor esperado: lo que vale una apuesta de media
En una frase: El valor esperado es lo que paga una elección de media si pudieras repetirla muchas veces; explica por qué el casino siempre gana, por qué un seguro puede tener sentido igualmente y por qué un alto porcentaje de aciertos puede perder dinero.
La idea
Toda elección con resultado incierto, desde una apuesta hasta un seguro o una operación en bolsa, se puede resumir en un número: lo que paga de media si pudieras tomar la misma decisión una y otra vez. Ese número es el valor esperado.
Se calcula así: cada resultado posible por su probabilidad, y luego se suma todo. Ya está. El nombre engaña: el valor esperado a menudo es un resultado que no puedes obtener en ningún intento concreto. Es lo que te saldría de media en muchos intentos.
El tío Paco en la feria
En la feria del pueblo, una caseta ofrece un juego: pagas 2 €, tiras un dado y, si sale un seis, ganas 10 €. El tío Paco ha tirado 9 veces. Ganó una, y describe el juego como «casi rentable».
Valoremos una tirada:
- 1 posibilidad entre 6 de ganar 10 €: de media vale 10 × 1/6 = 1,67 €.
- Siempre pagas 2 €.
- Valor esperado: 1,67 € - 2 € = -0,33 € por tirada.
De media, cada tirada le cuesta a Paco 33 céntimos. A veces ganará, y ganar sienta de maravilla, pero en muchas tiradas la caseta se queda con más o menos una sexta parte de todo lo que le da. Esa es la ventaja de la casa, y así está construido cada juego de casino, lotería y feria: algunos jugadores ganan, el jugador medio pierde y la casa es para siempre el rival del jugador medio. (Nuestro artículo de la Primitiva es el caso extremo.)
Cuando la media no lo es todo: el seguro
La tía Mari Carmen paga 8 € al mes por asegurar un móvil de 120 €. Digamos que la probabilidad de romperlo en un mes es de 1 entre 20. La pérdida esperada es 120 × 1/20 = 6 € al mes, así que el seguro tiene un valor esperado de -2 € al mes. Solo con los números, es una mala apuesta, y la aseguradora cuenta con ello.
¿Se equivoca Mari Carmen? No necesariamente. El valor esperado habla de la media, no del riesgo. Si perder 120 € de golpe este mes fuera un problema de verdad, pagar unos pocos euros seguros para evitar un golpe raro y doloroso puede tener sentido. Para eso son los seguros: cambiar una media un poco peor por un peor caso mucho más pequeño. Deja de tener sentido cuando aseguras cosas que podrías reponer fácilmente, una y otra vez, pagando cada vez la ventaja de la aseguradora.
Así que el valor esperado es la guía correcta cuando vas a repetir una elección muchas veces y puedes sobrevivir a los malos resultados. Cuando un solo mal resultado haría mucho daño, también importa la dispersión de los resultados (lección 3).
La trampa del alto porcentaje de aciertos
El cuñado tiene una estrategia de bolsa que gana el 60% de las veces. Se lo cuenta a todo el mundo. No le cuenta a nadie que sus ganancias son de +1% de media y sus pérdidas de -2%.
Valor esperado por operación: 0,6 × (+1%) + 0,4 × (-2%) = 0,6% - 0,8% = -0,2%. El cuñado gana casi siempre y pierde dinero en total. El porcentaje de aciertos por sí solo no dice nada; hace falta también el tamaño de las ganancias y las pérdidas. Por eso un stop-loss ajustado puede dar un montón de pérdidas pequeñas y una media peor, como vimos en nuestra prueba del stop-loss.
Pruébalo tú
A Paco le ofrecen dos premios en la final de un concurso del bar. A: 45 € seguros. B: lanzar una moneda, cara 100 €, cruz nada.
1. ¿Cuál es el valor esperado de cada uno? 2. ¿Cuál debería elegir? 3. ¿Cambiaría tu respuesta si pudiera hacer exactamente esta elección 1000 veces?
Ver la respuesta
1. A vale 45 €. B vale 0,5 × 100 € + 0,5 × 0 € = 50 €.
2. B tiene la media más alta. Pero es un solo intento: la mitad de las veces Paco se va sin nada. Si 45 € seguros le importan más que una moneda al aire por 100 €, elegir A es perfectamente razonable. Elegir la opción más segura a costa de un poco de media se llama ser adverso al riesgo, y casi todo el mundo lo es, con sensatez.
3. En 1000 intentos, B pagaría casi seguro cerca de 50.000 € frente a los 45.000 € de A. Con muchas repeticiones, gana la media y el riesgo casi desaparece. Por eso a los casinos les encanta el valor esperado y los jugadores sueltos no deberían fiarse de su suerte.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Valor esperado, E(X) | La media de todos los resultados posibles ponderada por su probabilidad |
| Variable aleatoria | Un número cuyo valor depende del azar (el premio de una tirada) |
| Ventaja de la casa | La pérdida esperada del jugador por apuesta, incorporada al juego |
| Juego justo | Una apuesta cuyo valor esperado es exactamente cero |
| Varianza (de los resultados) | Lo dispersos que están los resultados posibles; una medida del riesgo |
| Aversión al riesgo | Estar dispuesto a aceptar una media más baja a cambio de menos incertidumbre |
| Tasa de acierto | La parte de los intentos que ganan; sin el tamaño de ganancias y pérdidas no significa nada |
Tres cosas para recordar
- Valor esperado = cada resultado por su probabilidad, todo sumado. Es la media de muchos intentos.
- Con muchas repeticiones gana la media; ante un único resultado doloroso, también importa el riesgo.
- Un alto porcentaje de aciertos no significa nada sin el tamaño de las ganancias y las pérdidas.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.