Estadística desde cero · Lección 14 de 22
La prueba t: ¿la diferencia es real o es ruido?
En una frase: Una prueba t compara la diferencia entre dos medias con lo mucho que se mueven los datos y la cantidad de datos que hay, y pregunta si la diferencia sobresale del ruido.
La idea
Dos grupos, dos medias y una diferencia entre ellas. ¿La diferencia es real, o saldría una así por suerte? Es la pregunta más habitual de la estadística, y la prueba t es la forma más habitual de responderla.
Pesa tres cosas a la vez: lo grande que es la diferencia, lo mucho que se mueven los números dentro de cada grupo y cuántos números tienes. Una diferencia grande, poco movimiento y muchos datos dan una diferencia convincente. Una diferencia pequeña, mucho movimiento y un puñado de datos dan una moneda al aire.
El atajo del tío Paco
El tío Paco ha descubierto un atajo a casa del abuelo Manolo. Pasa por un camino de tierra, una gasolinera cerrada y un giro que se niega a describir. Dice que ahorra «un montón de tiempo».
La tía Mari Carmen, que va por el camino normal, propuso una prueba. Cada uno cronometró seis viajes, en minutos:
| Tiempos de viaje (minutos) | Media | |
|---|---|---|
| Camino normal de Mari Carmen | 32, 35, 30, 38, 33, 36 | 34 |
| Atajo de Paco | 30, 34, 28, 33, 31, 30 | 31 |
El atajo de Paco es 3 minutos más rápido de media. Paco ya se lo ha dicho al abuelo. Pero mira los tiempos: el camino de Mari Carmen fue de 30 a 38 minutos, el atajo de Paco de 28 a 34. Las rutas se solapan mucho. ¿Son 3 minutos una diferencia real, o solo una buena semana de tráfico?
Lo que hace la prueba t
La prueba t convierte la pregunta en un número, el estadístico t:
t = la diferencia entre las medias ÷ el error típico de esa diferencia
El error típico (lección 6) mide cuánto variaría la diferencia si repitieras todo el experimento. Es mayor cuando los tiempos se mueven mucho y menor cuando tienes más viajes. Aquí:
- La diferencia: 34 - 31 = 3 minutos.
- El error típico de esa diferencia: unos 1,5 minutos (según lo que se mueven los tiempos de cada ruta, con seis viajes cada una).
- t = 3 ÷ 1,5 = unos 2,0.
Así que la diferencia es más o menos el doble de su vaivén típico. La regla aproximada de la lección 9: un t de 2 o más es donde empieza el «probablemente no es suerte». Aquí estamos justo en el límite. El valor p exacto es 0,07: si las rutas fueran idénticas, una diferencia así aparecería unas 7 veces de cada 100. Es sugerente, pero no supera el umbral habitual del 5%.
Entonces, ¿quién gana la discusión?
Ninguno, de momento. Paco no puede decir que ha demostrado que su atajo es más rápido. Mari Carmen no puede decir que no lo sea: «no significativo» quiere decir «no demostrado», no «no hay diferencia» (lección 8). El veredicto honesto es: con seis viajes cada uno no se puede saber.
La solución es tener más datos. Si hubieran hecho doce viajes cada uno, con las mismas medias y el mismo movimiento, el error típico se reduciría y t subiría a unos 3,0, con un valor p de unos 0,007. Los mismos 3 minutos serían entonces convincentes. En el atajo no habría cambiado nada; solo la cantidad de pruebas.
Esa es la enseñanza más útil de la prueba t: que una diferencia sea «real» depende no solo de su tamaño, sino de cuánto ruido la rodea y de cuántos datos tienes.
¿Qué prueba t?
- Dos grupos separados (viajes distintos por cada ruta): la prueba t para muestras independientes. La versión que no supone que los dos grupos se muevan igual se llama prueba de Welch, y es una opción segura por defecto.
- Lo mismo medido dos veces (los mismos diez conductores por las dos rutas): la prueba t para muestras pareadas. Compara a cada conductor consigo mismo, lo que quita mucho ruido y suele necesitar menos datos.
- Un grupo frente a un número fijo (¿el viaje medio dura de verdad menos de 35 minutos?): la prueba t para una muestra.
Las tres hacen lo mismo por debajo: una diferencia dividida entre su error típico.
Pruébalo tú
El cuñado dice que la nueva cafetera ha mejorado el ambiente en la oficina. Puntuaciones de satisfacción (sobre 10) de 50 compañeros: cafetera vieja, media de 6,1; nueva, media de 6,4. El error típico de la diferencia es 0,3.
1. ¿Cuánto vale el estadístico t? 2. ¿Es convincente la diferencia? 3. ¿Qué la haría más convincente?
Ver la respuesta
1. t = (6,4 - 6,1) ÷ 0,3 = 1,0.
2. No. La diferencia es del mismo tamaño que su vaivén típico, algo muy fácil de obtener por suerte. No demostrado, que no es lo mismo que «no hay efecto».
3. Más compañeros, o un diseño pareado: preguntar a las mismas personas antes y después, para que el humor general de cada una se anule. Y un poco de sospecha: si el cuñado eligió el día e hizo él las preguntas, los problemas de sesgo de la lección 6 importan más que la prueba t.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Prueba t (t de Student) | Una prueba de si la diferencia entre medias es mayor de lo que daría el ruido |
| Estadístico t | La diferencia dividida entre su error típico: cuántos «vaivenes típicos» mide la diferencia |
| Error típico de la diferencia | Cuánto variaría la diferencia si repitieras el experimento |
| Muestras independientes / prueba de Welch | Dos grupos separados; la versión de Welch no supone igual dispersión |
| Prueba t pareada | Los mismos sujetos medidos dos veces; compara a cada uno consigo mismo |
| Grados de libertad | Un número basado en el tamaño de la muestra que fija lo exigente que es el listón de t; con muestras pequeñas, algo más de 2 |
| Prueba bilateral | Buscar una diferencia en cualquier dirección, no solo en la que esperabas |
Tres cosas para recordar
- Una prueba t pregunta si la diferencia es grande comparada con su propio ruido, no si es grande.
- Un t de alrededor de 2 es donde empieza el «probablemente no es suerte»; las muestras pequeñas necesitan algo más.
- No significativo quiere decir no demostrado. Más datos, o un diseño pareado, pueden cambiar el veredicto sin cambiar la diferencia.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.