Estadística desde cero · Lección 12 de 22
Regresión lineal: trazar la recta (y saber dónde parar)
En una frase: La regresión traza la recta que mejor se ajusta a tus datos y te dice cuánto suele cambiar una cosa cuando cambia otra, pero solo conoce el rango de datos que le diste.
La idea
En la lección 7 viste la correlación: un número que dice lo estrechamente que se mueven juntas dos cosas. La regresión va un paso más allá. Traza la recta misma a través de los datos, así que puedes decir cuánto cambia una cosa cuando cambia la otra, y hacer una predicción.
La recta que traza es la que, en conjunto, deja los puntos lo más cerca posible. En concreto, hace lo más pequeña posible la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta, por eso se llama mínimos cuadrados. Nunca tendrás que trazarla a mano; lo hace cualquier hoja de cálculo. Lo que necesitas es saber qué te puede decir la recta y qué no.
El puesto de limonada del cuñado
El cuñado tiene un puesto de limonada en el mercadillo de verano. Durante cinco sábados apuntó la temperatura y los vasos vendidos:
| Temperatura | 15°C | 18°C | 21°C | 24°C | 27°C |
|---|---|---|---|---|---|
| Vasos vendidos | 20 | 26 | 29 | 35 | 40 |
La recta que mejor se ajusta a estos puntos es:
vasos = 1,63 × temperatura - 4,3
Dos números, dos significados:
- La pendiente, 1,63: cada grado de más va con más o menos vaso y medio vendido de más. Este es el número útil. Es el «cuánto».
- La ordenada en el origen, -4,3: el valor de la recta a 0°C. Aquí no significa nada (el cuñado no puede vender menos cuatro vasos). Es solo donde tiene que empezar la recta para pasar por el sitio correcto.
Para una previsión de 30°C, la recta predice 1,63 × 30 - 4,3 = unos 45 vasos. El cuñado compró limones para 45. Razonable.
¿Lo buena que es la recta?
Los puntos no caen justo en la recta. Las diferencias se llaman residuos: a 18°C el cuñado vendió 26 vasos y la recta decía 25,1, así que el residuo es +0,9. Residuos pequeños significan buen ajuste.
El resumen habitual es el R cuadrado: la parte de los altibajos de las ventas que explica la recta. Aquí es 0,99, es decir, la temperatura explica el 99% de la variación de las ventas del cuñado. Sospechosamente limpio, porque son números inventados. Los datos reales son más desordenados, y un R cuadrado de 0,3 todavía puede servir, mientras que 0,99 en la vida real suele significar que te has equivocado o que estás midiendo dos veces lo mismo.
Dónde parar
El tío Paco le pidió prestada la recta al cuñado para montar un puesto en el mercadillo de invierno. A 0°C, la recta predice 1,63 × 0 - 4,3 = menos cuatro vasos.
Paco entendió que los clientes le traerían limonada a él. Puso dos cubos vacíos. No vino nadie, en ninguna dirección.
Esto es extrapolar: usar la recta fuera del rango de datos con el que se construyó. Los datos del cuñado iban de 15 a 27°C. Entre esos valores, la recta es una buena guía. Fuera, no tiene ni idea. Quizá por debajo de 10°C las ventas dejan de bajar porque los fijos siempre vienen. Quizá a 35°C todo el mundo se queda en casa. La recta no puede saberlo, porque nunca vio esos días.
Los mercados caen en esta trampa constantemente. Una línea de tendencia trazada sobre tres años buenos no dice nada del cuarto, y una estrategia ajustada a un periodo tranquilo no dice nada de un crac. Por eso nuestras pruebas comprueban los resultados con datos a los que nunca se ajustaron las reglas.
Dos avisos más
- Una recta no es una causa. Todo lo de la lección 7 sigue valiendo. Las ventas de limonada y las quemaduras de sol suben con la temperatura; una regresión de una sobre otra se ajustaría muy bien y no significaría nada.
- La regresión a la media es otra cosa con un nombre confusamente parecido. Es la tendencia de los resultados extremos a ir seguidos de otros más normales, como el brillante empleado del mes que al mes siguiente tiene un mes normal. La palabra «regresión» viene en los dos casos del mismo estudio del siglo XIX sobre estaturas, y solo por eso la comparten.
Pruébalo tú
Un estudio del mercadillo del cuñado encuentra: visitantes diarios = 12 × número de puestos + 150, con datos de días con 10 a 40 puestos.
1. ¿Qué significa el 12? 2. ¿Cuántos visitantes predice la recta con 25 puestos? 3. El organizador quiere saber cuántos visitantes traerían 200 puestos. ¿Qué le dices?
Ver la respuesta
1. Cada puesto de más va con unos 12 visitantes más al día (de media, dentro de los datos).
2. 12 × 25 + 150 = 450 visitantes.
3. La recta dice 2550, pero 200 puestos está muy lejos de los 10 a 40 que cubrían los datos. El aparcamiento podría llenarse, el pueblo podría no tener tantos compradores o los visitantes podrían repartirse entre más puestos en lugar de multiplicarse. Es extrapolar; la respuesta honesta es «no lo sabemos, y la recta no nos lo puede decir». Y aun dentro del rango, puede que los puestos vayan detrás de los visitantes y no al revés.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Regresión lineal | Ajustar la mejor recta a los datos |
| Variable dependiente (y) | Lo que intentas predecir (los vasos vendidos) |
| Variable independiente (x), predictor | Con lo que lo predices (la temperatura) |
| Pendiente (coeficiente, b) | Cuánto cambia y, de media, cuando x sube en uno |
| Ordenada en el origen (a) | El valor de la recta cuando x es cero; a menudo no significa nada por sí solo |
| Mínimos cuadrados | El método: elegir la recta que hace más pequeña la suma de los cuadrados de las diferencias |
| Residuo | La diferencia entre un punto real y lo que predice la recta |
| R cuadrado (coeficiente de determinación) | La parte de la variación de y que explica la recta, de 0 a 1 |
| Extrapolación | Usar la recta fuera del rango de los datos. Peligroso |
Tres cosas para recordar
- La pendiente es el número útil: cuánto cambia una cosa cuando la otra sube en uno.
- Una recta solo conoce el rango de datos con el que se construyó. Fuera de él, adivina muy segura de sí misma.
- Un buen ajuste no es una causa, y un ajuste perfecto en datos reales es motivo de sospecha.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.