Estadística desde cero · Lección 5 de 22
La campana de Gauss, explicada en la barra
En una frase: Cuando se suman muchísimos empujoncitos pequeños y aleatorios, los resultados forman una campana alrededor de la media, y entonces la desviación típica te dice exactamente lo raro que es cualquier valor.
La idea
Mide muchísimas cosas, cada una empujada por muchos pequeños factores aleatorios, y los resultados suelen formar la misma figura: casi todos los valores se agrupan cerca de la media, cuanto más te alejas menos hay, y los dos lados parecen reflejos el uno del otro. Dibújalo en un gráfico y sale una colina con la cima redondeada y laderas largas y finas a los dos lados. Parece una campana, así que todo el mundo la llama campana de Gauss. Tu profesor la llama distribución normal.
Para describir la campana del todo bastan dos números: la media (dónde está el centro de la campana, lección 2) y la desviación típica (lo ancha que es la campana, lección 3). Con esos dos, sabes lo frecuente o lo raro que es cualquier valor.
El camarero tira cerveza
El bar favorito del tío Paco, un viernes lleno. El camarero tira jarra tras jarra. Una jarra es medio litro, pero ninguna tiene nunca exactamente 500 ml. Aquí un poco más de espuma, allí un despiste, un vaso un pelín inclinado, un cliente que grita su pedido a mitad de tirada. Cada empujoncito es diminuto y aleatorio; unos suben el nivel de la cerveza y otros lo bajan.
Casi siempre los empujoncitos se compensan más o menos y la jarra se queda cerca de los 500 ml. A veces varios empujan por casualidad hacia el mismo lado y la jarra sale claramente corta o generosamente llena. Muy de vez en cuando, casi todos empujan hacia el mismo lado.
Digamos (es un ejemplo, no una medición) que las jarras del camarero tienen de media 500 ml con una desviación típica de 10 ml. Ordena mil jarras de viernes por tamaño y formarán una campana.
Paco, por supuesto, está convencido de que todas sus jarras salen cortas.
Por eso la campana aparece en todas partes: sale siempre que un resultado es la suma de muchos empujoncitos pequeños e independientes. La estatura (muchos genes, más la comida y el sueño), los errores de medición, las notas de un examen grande y bien hecho y el peso de las bolsas de patatas fritas forman más o menos una campana.
La regla 68-95-99,7
Y aquí viene el premio. Para cualquier campana de Gauss, mida lo que mida:
- Más o menos el 68% de los valores cae a menos de 1 desviación típica de la media.
- Más o menos el 95%, a menos de 2 desviaciones típicas.
- Más o menos el 99,7%, a menos de 3 desviaciones típicas.
Volvamos a la barra. Una jarra de 490 ml está 1 desviación típica por debajo. Más o menos una de cada seis jarras está así de corta o más, así que a Paco le toque una es de lo más normal. Una jarra de 480 ml está 2 desviaciones típicas por debajo: más o menos 1 de cada 44. En una noche movida, a alguien le tocarán unas cuantas. Una jarra de 470 ml está 3 desviaciones típicas por debajo: más o menos 1 de cada 740. Si a Paco le toca una vez, puede ser mala suerte. Si le toca todos los viernes, Paco tiene razón, y quizá algo que hablar con el dueño.
La misma regla funciona con las personas. Supongamos, en números redondos, que los hombres adultos miden de media 176 cm, con una desviación típica de 7 cm (es un ejemplo para hacer las cuentas, no una medición). Entonces más o menos dos tercios de los hombres miden entre 169 y 183 cm, y alrededor del 95%, entre 162 y 190 cm. Un hombre de 197 cm está 3 desviaciones típicas por encima de la media: es más alto que todos menos más o menos 1 de cada 740. Por eso los entrenadores de baloncesto conocen a la mayoría por su nombre.
Mil jarras de viernes
La puntuación z: ¿cómo de raro es esto?
Contar «cuántas desviaciones típicas desde la media» es tan útil que tiene nombre propio: la puntuación z.
puntuación z = (tu valor menos la media) ÷ la desviación típica
Una puntuación z de 0 es la media exacta. Un 1 es una desviación típica por encima. Una puntuación z de 2 por debajo de la media se escribe «menos 2» y significa inusualmente bajo. La magia es que las puntuaciones z te dejan comparar cosas medidas en unidades totalmente distintas: mililitros, centímetros, puntos de un examen, lo que sea. «Cuántas desviaciones típicas desde la media» significa lo mismo en todas partes.
Cuándo miente la campana
No todo es una campana. La campana solo aparece cuando se suman muchos empujoncitos pequeños y ninguno manda sobre los demás. Cuando no es así, puede fallar de mala manera:
- Los datos torcidos, como los sueldos o el precio de la vivienda, tienen una cola larga hacia un lado (el milmillonario de la lección 2). No hay reflejo y la regla 68-95-99,7 no funciona.
- Las colas gruesas: en los mercados financieros, los movimientos diarios muy grandes aparecen mucho más a menudo de lo que dice la campana. Si calculas con una campana lo raro que es un crac, lo vas a subestimar muchísimo. Es uno de los motivos por los que siempre miramos el historial real de resultados en lugar de fiarnos de una fórmula bonita.
La campana de Gauss es un modelo: utilísimo, y equivocado siempre que no se cumplen sus supuestos. Un buen estadístico mira la forma de los datos antes de echar mano de la regla.
Pruébalo tú
El cuñado vuelve a casa con dos notas de examen. En estadística sacó 72 puntos; la media del grupo fue 60, con una desviación típica de 6. En historia sacó 80; la media fue 75, con una desviación típica de 10. Las dos tandas de notas tenían más o menos forma de campana.
El cuñado dice que historia le salió mejor, porque 80 es más que 72. ¿Tiene razón?
Ver la respuesta
Calcula las puntuaciones z.
Estadística: (72 menos 60) ÷ 6 = 12 ÷ 6 = 2. Dos desviaciones típicas por encima de la media del grupo. Mejor que más o menos el 98% del grupo.
Historia: (80 menos 75) ÷ 10 = 5 ÷ 10 = 0,5. Media desviación típica por encima de la media. Mejor que más o menos el 69% del grupo.
La nota de estadística impresiona mucho más, aunque el número sea más bajo. La nota bruta solo dice cuántos puntos; la puntuación z dice cómo queda frente a los demás. (El cuñado nos ha pedido que dejemos constancia de que ahora es «estadísticamente superdotado». Hemos aceptado decirlo una vez.)
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Distribución normal (gaussiana) | La campana de Gauss |
| μ (mu) y σ (sigma) | La media y la desviación típica de toda la población |
| Simétrica | Los dos lados son reflejos el uno del otro, así que la media, la mediana y la moda están en el centro |
| Regla empírica | La regla 68-95-99,7 |
| Puntuación z (tipificada) | A cuántas desviaciones típicas está un valor de la media |
| Normal estándar, N(0, 1) | La campana con media 0 y desviación típica 1: la escala en la que viven las puntuaciones z |
| Tabla de la normal | Una tabla que convierte una puntuación z en «qué parte de los valores queda por debajo» |
| Asimétrica | Torcida, con una cola larga hacia un lado, así que no es una campana |
| Colas gruesas | Los valores extremos pasan más a menudo de lo que predice la campana |
Tres cosas que recordar
- Muchos empujoncitos pequeños y aleatorios sumados dan una campana. Por eso aparece tan a menudo.
- 68-95-99,7: a menos de 1, 2 y 3 desviaciones típicas de la media. La puntuación z dice a cuántas desviaciones típicas está algo.
- Mira primero la forma. Los sueldos están torcidos y los mercados tienen colas gruesas, y ahí la campana subestima muchísimo los extremos.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.