Estadística desde cero · Lección 21 de 22
¿Qué es el ANOVA? Comparar tres o más medias a la vez
En una frase: El ANOVA compara varias medias de grupo en una sola prueba preguntando si las diferencias entre grupos son grandes comparadas con la variación normal dentro de ellos, y así evita las falsas alarmas de hacer muchas pruebas t.
La idea
La prueba t (lección 14) compara dos medias. ¿Y si tienes tres grupos, o cinco? Podrías comparar cada pareja con su propia prueba t. El problema es que cada prueba lleva su propio riesgo de falsa alarma, y los riesgos se acumulan. El ANOVA, abreviatura de análisis de la varianza, compara todos los grupos en una sola prueba.
Su pregunta es sencilla: ¿las medias están más separadas de lo que cabría esperar, dado lo mucho que varían las cosas de por sí?
El ensayo de los tomates
El tío Paco está convencido de que los tomates de su huerto crecen mejor con restos de cerveza. La tía Mari Carmen, que lleva once veranos oyéndolo, propone un ensayo. Doce matas, tres grupos de cuatro: agua sola, abono del vivero y la cerveza de Paco.
Al final del verano cuentan los tomates de cada mata:
| Grupo | Tomates por mata | Media |
|---|---|---|
| Agua sola | 8, 10, 12, 10 | 10 |
| Abono de la tienda | 12, 14, 16, 14 | 14 |
| Cerveza de Paco | 10, 12, 14, 12 | 12 |
Paco señala que la cerveza le ganó al agua. Mari Carmen señala que el abono le ganó a la cerveza. Las dos cosas son ciertas sobre estas doce matas. La pregunta es qué es cierto sobre los tomates.
¿Por qué no hacer tres pruebas t?
Tres grupos son tres parejas: agua contra abono, agua contra cerveza y abono contra cerveza. Cada prueba t al nivel habitual del 5% tiene un 5% de probabilidad de dar una falsa alarma cuando no hay ninguna diferencia real. Haz tres y la probabilidad de que al menos una dé una falsa alarma sube a alrededor del 14%. Con cinco grupos hay diez parejas y el riesgo llega a cerca del 40%. Es el problema de las comparaciones múltiples de la lección 8, que ha entrado por la puerta del huerto.
El ANOVA primero hace una sola pregunta: ¿hay alguna diferencia? Solo si la respuesta es sí te pones a buscar cuál.
Señal entre ruido: el cociente F
El ANOVA compara dos tipos de variación:
- Entre grupos: lo lejos que están las medias de los grupos (10, 14 y 12) de la media general (12). Es la señal: el posible efecto de lo que se les echó a las matas.
- Dentro de los grupos: cuánto se diferencian las matas que recibieron lo mismo (de 8 a 12 con agua sola). Es el ruido: tierra, sol, caracoles, suerte.
Divide la primera entre la segunda (cada una ajustada por el número de grupos y de matas) y obtienes el cociente F (estadístico F). Si los tratamientos no hicieran nada, las medias solo se diferenciarían por la misma suerte que hace que las matas de un grupo sean distintas, y F rondaría 1. Cuanto mayor es F, más difícil es explicar las diferencias por suerte.
Para los tomates, F = 6,0. Con 3 grupos y 12 matas, un valor así de alto solo saldría por azar alrededor del 2% de las veces: p = 0,02. Algo es distinto.
Las mismas medias, otro veredicto
Ahora imagina que las matas de cada grupo hubieran variado mucho más, por ejemplo 4, 10, 16 y 10 con agua sola, y los otros grupos igual de dispersos. Las medias siguen siendo 10, 14 y 12. Pero ahora el ruido es mucho mayor que la señal: F = 0,67, p = 0,54. Ninguna prueba de diferencia.
Ese es el corazón del ANOVA, y es un eco de la lección 3: una media sin su dispersión es media respuesta. Una diferencia de 4 tomates significa mucho cuando las matas son regulares y muy poco cuando cada una va a su aire.
Entonces, ¿qué grupo es distinto?
Un ANOVA significativo solo dice «al menos una media es distinta». No dice cuál. Para eso se hace una prueba post hoc (la más habitual es la de Tukey), que compara las parejas manteniendo el riesgo total de falsa alarma en el 5%.
Para los tomates, encuentra que el abono le ganó al agua sola (una diferencia de 4 tomates, p = 0,02). La diferencia de 2 tomates entre la cerveza y cualquiera de los otros dos es demasiado pequeña para decidir con cuatro matas por grupo (p = 0,25 en ambos casos). Así que el ensayo muestra que el abono ayuda. No muestra que la cerveza ayude, ni que no ayude. Con cuatro matas por grupo, un efecto de 2 tomates sería difícil de detectar aunque fuera real (lección 15).
Paco ha anunciado un ensayo más grande el verano que viene. Mari Carmen ha tomado nota de que requerirá más cerveza.
La letra pequeña
- Observaciones independientes. Doce matas distintas, no una mata contada doce veces.
- Datos más o menos en forma de campana en cada grupo, o suficientes datos para que ayude el teorema central del límite (lección 17).
- Dispersión parecida en cada grupo. Si un grupo varía mucho más que los demás, usa una versión que lo tenga en cuenta (el ANOVA de Welch, prima de la prueba t de Welch).
- Asignación aleatoria si quieres hablar de causas. Si las matas de la cerveza estaban casualmente en el rincón más soleado del huerto, el ANOVA no puede distinguir el sol de la cerveza (lección 7).
Pruébalo tú
El cuñado compara cuántos minutos tardan en llegar tres pizzerías, con cinco pedidos de cada una. Las medias son 30, 32 y 35 minutos. El ANOVA da p = 0,30.
1. El cuñado dice: «O sea, las tres son igual de rápidas». ¿Es eso lo que muestra el resultado? 2. Luego hace pruebas t con las tres parejas y presenta la que dio p = 0,04. ¿Qué tiene de malo?
Ver la respuesta
1. No. p = 0,30 significa que diferencias así aparecen con bastante frecuencia por la variación normal, así que no hay pruebas de una diferencia. Eso no demuestra que no la haya. Con cinco pedidos de cada una, una diferencia real de 5 minutos podría esconderse fácilmente en el ruido. «No encontramos diferencia» y «no hay diferencia» son frases distintas.
2. Es justo la trampa que el ANOVA existe para evitar. Si la prueba general no encontró nada, rebuscar entre las parejas y presentar la más bonita es hacer comparaciones múltiples: con tres intentos, un p por debajo de 0,05 sale por azar mucho más del 5% de las veces. Si quiere comparar parejas, debe usar una prueba post hoc que lo corrija, y esperar que coincida con el ANOVA.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| ANOVA de un factor | Comparar las medias de tres o más grupos que se diferencian en una cosa (aquí, qué se les echó a las matas) |
| Factor, niveles | Lo que cambias (el riego) y sus versiones (agua, abono, cerveza) |
| Variación entre grupos (SCE, MCE) | Lo lejos que están las medias de grupo de la media general: la señal |
| Variación dentro de los grupos (SCD, MCD, error) | Cuánto varían los individuos dentro de cada grupo: el ruido |
| Estadístico F (cociente F) | Variación entre grupos dividida entre variación dentro; ronda 1 si no pasa nada |
| Grados de libertad (aquí 2 y 9) | Grupos menos 1, y observaciones menos grupos; indican qué fila de la tabla F usar |
| Prueba post hoc (HSD de Tukey) | Una prueba de seguimiento que compara parejas sin inflar el riesgo de falsa alarma |
| Tasa de error por familia (FWER) | La probabilidad de al menos una falsa alarma en todo un conjunto de pruebas |
Tres cosas para recordar
- Muchas pruebas t son muchas ocasiones de falsa alarma. El ANOVA pregunta primero: ¿hay alguna diferencia?
- F es señal entre ruido: diferencias entre grupos comparadas con la variación dentro de ellos.
- Un ANOVA significativo dice que algo es distinto, no qué. Uno no significativo dice «no hay pruebas», no «no hay diferencia».
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.