Estadística desde cero · Lección 28 de 31
El bootstrap: un intervalo de confianza con tus propios datos
En una frase: El bootstrap estima cuánto variaría un resultado de una muestra a otra remuestreando tus propios datos con reemplazo miles de veces, lo que da un intervalo de confianza incluso cuando no hay fórmula.
La idea
Un intervalo de confianza (lección 9) necesita saber cuánto bailaría tu resultado si tomaras otra muestra. Para una media hay una fórmula para ese baile, el error estándar. Para muchas otras cosas (una mediana, un percentil, un cociente, cualquier cosa rara) no hay fórmula sencilla.
El bootstrap lo esquiva con un truco: trata tu muestra como sustituta de toda la población, saca muchas muestras nuevas de tus propios datos y mira cuánto varía el resultado entre ellas. Esa variación es tu estimación del baile.
Los trayectos del cuñado
El cuñado tiene trabajo nuevo y ha cronometrado sus primeros 15 trayectos, en minutos: 22, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 41, 47, 58, 75. El 75 fue un día con el tren averiado.
Quiere decirle a su jefe cuánto tarda «normalmente», con un margen. El tío Paco dice que dé el peor día, «por si acaso». La tía Mari dice que la mediana es de 31 minutos, pero ¿cuánta seguridad puede tener con solo 15 días?
Los datos son asimétricos a la derecha (lección 26), así que la mediana, 31, describe mejor un día típico que la media, 36,3. Pero la fórmula de la lección 9 es para medias. ¿Cómo se pone un margen alrededor de una mediana?
Cómo funciona el bootstrap
- Paso 1. Remuestrea. Saca 15 valores de los 15 del cuñado, con reemplazo: después de sacar un valor, lo devuelves, así que puede volver a salir. Un remuestreo podría ser 25, 26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 33, 35, 38, 41, 47, 75. Algunos días salen dos veces y otros ninguna.
- Paso 2. Calcula. Halla la mediana del remuestreo. Aquí es 30.
- Paso 3. Repite. Hazlo miles de veces. Un ordenador hace 100.000 en un segundo.
- Paso 4. Lee el margen. Ordena todas las medianas remuestreadas. El 95% central, del percentil 2,5 al 97,5, es un intervalo de confianza bootstrap del 95%.
¿Por qué con reemplazo? Sin él, cada remuestreo serían los 15 días del cuñado en otro orden, con exactamente la misma mediana. Devolver los valores imita sacar una muestra nueva de una población que se parece a sus datos.
La respuesta del cuñado
Hicimos 200.000 remuestreos. Las medianas se agruparon en torno a 30 y 31 y se fueron abriendo desde ahí:
| Mediana del remuestreo | Parte de los remuestreos |
|---|---|
| 27 o menos | 2,5% |
| 28 a 38 | 95% |
| 41 o más | 2,5% |
Así que un intervalo del 95% para el trayecto típico del cuñado es, más o menos, de 27 a 41 minutos, centrado en 31. Con 15 días, es toda la precisión honrada que puede dar. Puede decirle a su jefe «normalmente una media hora, entre 27 y 41 en un día típico», que es más útil que los 75 de Paco.
Medianas de 200.000 remuestreos bootstrap de 15 trayectos
¿Coincide con la fórmula?
Para la media, donde sí hay fórmula, podemos comprobarlo. El bootstrap da un intervalo del 95% de 30,1 a 43,9 minutos. La fórmula habitual, la media más o menos unos dos errores estándar con la distribución t (lección 14), da de 28,5 a 44,2. Cerca, y el del bootstrap está algo ladeado, siguiendo la asimetría de los datos. La estimación bootstrap del error estándar (3,56) también se acerca a la de la fórmula (3,67). Cuando hay los dos métodos, suelen coincidir; el valor del bootstrap es que sigue funcionando donde la fórmula se acaba.
Dónde falla
- Muestras muy pequeñas. Con cinco valores hay muy pocos datos para hacer de población, y el intervalo saldrá demasiado estrecho o con una forma rara.
- Extremos. Un remuestreo nunca puede contener un valor mayor que el mayor de tus datos. El 64% de los remuestreos del cuñado tenía el mismo máximo, 75 minutos, así que el bootstrap no puede decir nada sensato de su peor trayecto posible.
- Datos dependientes. Remuestrear días sueltos rompe cualquier patrón en el tiempo, como una mala semana de obras. Los datos que vienen en rachas (incluidos los precios de mercado) necesitan versiones especiales que remuestrean bloques.
- Una muestra sesgada sigue sesgada. Si el cuñado solo hubiera cronometrado los días que salió pronto, remuestrearlos un millón de veces no lo arregla (lección 1).
Pruébalo tú
La dueña de una cafetería anota los clientes de 30 días y quiere un intervalo del 95% para el percentil 90 (un día de mucho jaleo). Hace 10.000 remuestreos bootstrap y ve que el percentil 90 de los remuestreos va, en su 95% central, de 61 a 78 clientes.
1. ¿Qué debería concluir? 2. ¿Por qué el bootstrap sería mala herramienta para el día de más jaleo que vaya a tener nunca?
Ver la respuesta
1. Un día ajetreado típico (el percentil 90) está probablemente entre unos 61 y 78 clientes; ese es el margen para planificar el personal. El intervalo es ancho porque en 30 días solo hay tres por encima del percentil 90.
2. El bootstrap no puede producir un día con más clientes que el mejor de sus 30 días, así que no dice nada de los días raros y extremos. Para eso necesita un registro más largo o un modelo de la cola.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Bootstrap | Estimar la variación de un resultado remuestreando los datos muchas veces |
| Muestreo con reemplazo | Sacar valores y devolver cada uno, para que pueda volver a salir |
| Muestra bootstrap (remuestreo) | Una muestra nueva del mismo tamaño sacada de tus datos |
| Distribución bootstrap | La dispersión del resultado en todos los remuestreos |
| Intervalo de percentiles | El 95% central de la distribución bootstrap, usado como intervalo de confianza del 95% |
| Error estándar bootstrap | La desviación típica de la distribución bootstrap |
| Bootstrap por bloques | Una versión que remuestrea rachas de valores seguidos, para datos en el tiempo |
| No paramétrico | Que no supone una forma concreta de los datos, como la campana |
Tres cosas para recordar
- Remuestrea tus propios datos con reemplazo, recalcula el resultado cada vez y quédate con el 95% central.
- Funciona para medianas, percentiles y otros resultados sin fórmula sencilla, y coincide con la fórmula cuando la hay.
- No puede inventar lo que no está en la muestra: ningún valor más allá de tus extremos, ningún arreglo para el sesgo, y hay que tener cuidado con datos diminutos u ordenados en el tiempo.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.