Prawo Benforda: jak ciocia Grażyna złapała zmyślone paragony Janusza
W skrócie: w wielu prawdziwych zestawach liczb obejmujących kilka rzędów wielkości, jak rachunki, liczby mieszkańców czy wydatki, pierwsza cyfra to 1 w około 30% przypadków, a 9 tylko w około 4,6%. Ludzie, którzy zmyślają liczby, rozkładają pierwsze cyfry dużo równiej i unikają jedynek. To prawo Benforda; audytorzy używają go jako pierwszego sita na zmyślone dane. To powód, żeby przyjrzeć się bliżej, a nie dowód czegokolwiek, i nie działa dla liczb o stałym zakresie, jak wzrost czy ceny po 9,99 zł.
Wujek Janusz został wybrany skarbnikiem Rodzinnego Ogrodu Działkowego, głównie dlatego, że nie było go na zebraniu. Na koniec roku złożył 120 paragonów na nasiona, kompost, sznurek i „inne”, kilka z nich wypisanych na podstawkach pod piwo.
Ciocia Grażyna, która sprawdza rachunki, bo nikt inny nie chce, rozłożyła paragony na kuchennym stole. Nie sprawdziła ani jednej pozycji. Policzyła tylko pierwszą cyfrę każdej kwoty. Potem zapytała Janusza, które paragony zmyślił. Janusz zapytał, skąd wie. Grażyna powiedziała, że powiedziały jej to liczby. Janusz stwierdził, że liczby nie mówią. Grażyna odparła, że te były bardzo rozmowne.
Prawdziwe liczby kochają jedynkę
Mogłoby się wydawać, że pierwsza cyfra kwoty z równą szansą jest czymkolwiek od 1 do 9. W wielu prawdziwych zestawach liczb tak nie jest. Wzór, zwany prawem Benforda, wygląda tak:
- Pierwsza cyfra 1: w około 30,1% przypadków.
- 2: 17,6%. 3: 12,5%. 4: 9,7%. 5: 7,9%.
- 6: 6,7%. 7: 5,8%. 8: 5,1%. 9: tylko 4,6%.
Pojawia się w rachunkach za prąd, długościach rzek, liczbach mieszkańców miast, sprawozdaniach firm i rozliczeniach wydatków: we wszystkim, co rośnie procentowo i obejmuje kilka rzędów wielkości, od dziesiątek do tysięcy.
Odsetek liczb zaczynających się od każdej cyfry według prawa Benforda
Dlaczego wygrywa jedynka
Pomyśl o kwocie, która rośnie równo o jakiś procent, jak oszczędności na lokacie. Żeby przejść ze 100 do 200, musi się podwoić. Żeby przejść z 900 do 1000, wystarczy jej wzrost o 11%. Spędza więc dużo czasu z pierwszą cyfrą 1 i przelatuje przez ósemki i dziewiątki. Potem dochodzi do 1000 i znów na długo wraca do jedynki. Zbierz wiele takich liczb, a jedynki się spiętrzą.
Dlaczego zmyślone liczby tego nie robią
Gdy ludzie zmyślają kwoty, starają się, żeby wyglądały losowo, a dla większości ludzi losowo znaczy „równo rozłożone”. Unikają okrągłych liczb, unikają powtórzeń i wybierają dużo średnich pierwszych cyfr, jak 4, 5, 6 i 7. Rzadko zaczynają od 1, bo 1 wydaje się za małe i za oczywiste.
120 paragonów Janusza: pierwsza cyfra 1 tylko na 10 z nich, około 8%. Pierwsza cyfra 6 albo 7 na 41. Prawdziwe paragony, za kompost i sznurek, wyglądały mniej więcej jak u Benforda. Podstawki pod piwo nie. Podstawki, powiedziała Grażyna, to coś, co statystycy nazywają obserwacją odstającą, a ona nazywa „czwartkiem”.
Kiedy prawo Benforda działa, a kiedy nie
1. Potrzebuje rozpiętości. Liczby powinny obejmować kilka rzędów wielkości: od dziesiątek do tysięcy, a nie wszystkie między 150 a 200.
2. Nie działa dla liczb nadawanych albo ograniczonych. Numery telefonów, wzrost dorosłych, rozmiary butów, ceny po 9,99 zł i płatności z limitem go nie spełniają.
3. To powód, żeby się przyjrzeć, a nie wyrok. Audytorzy używają go jako pierwszego sita, żeby zdecydować, gdzie kopać. Mały zestaw może odbiegać przypadkiem, więc odchylenie wymaga próby liczącej setki pozycji i dokładniejszego sprawdzenia, zanim ktokolwiek zostanie o cokolwiek oskarżony.
Gdzie to kosztuje pieniądze
Liczby księgowe prawdziwych firm zwykle dobrze trzymają się prawa Benforda. Badacze i audytorzy używają testów pierwszej cyfry, żeby wskazać sprawozdania wymagające dokładniejszego sprawdzenia, a podejrzany wzór to jeszcze jeden powód, żeby uważnie czytać liczby spółki, zamiast ufać nagłówkowi. Nie wybierze ci inwestycji, ale to tani sposób, żeby zauważyć, że liczby wyglądają na zmyślone, także w zbyt pięknych historiach wyników.
Morał
Janusz przyznał się do siedmiu podstawek i pozwolono mu zostać skarbnikiem pod warunkiem, że wszystkie przyszłe paragony będą drukowane przez kasę. W następnym roku jego paragony pięknie trzymały się prawa Benforda. Grażynie to też wydało się podejrzane. Okazało się, że Janusz przeczytał o prawie Benforda i teraz zmyśla paragony zaczynające się od 1. Grażyna przeszła tymczasem na drugą cyfrę, która też ma swój wzór. Janusz jeszcze o tym nie wie.
Odsetki Benforda to standardowe częstości pierwszej cyfry, log10(1 + 1/d). Paragony Janusza są zmyślone. Wzór pierwszych cyfr to narzędzie wstępnej selekcji, a nie dowód nieprawidłowości. Treść edukacyjna, a nie porada finansowa.