La ley de Benford: cómo la tía Mari Carmen pilló los recibos inventados de Paco
La versión corta: en muchas listas reales de números que abarcan varios órdenes de magnitud, como facturas, poblaciones o gastos, la primera cifra es un 1 más o menos el 30% de las veces y un 9 solo el 4,6%. Quien se inventa números reparte las primeras cifras de forma mucho más igualada y evita los unos. Es la ley de Benford, y los auditores la usan como primer filtro de cifras inventadas. Es un motivo para mirar más de cerca, no una prueba de nada, y no sirve para números con un rango fijo, como las estaturas o los precios de 9,99 €.
El tío Paco salió elegido tesorero de la asociación de hortelanos, sobre todo porque no fue a la asamblea. A final de año presentó 120 recibos de semillas, abono, cuerda y «varios», unos cuantos escritos en posavasos.
La tía Mari Carmen, que revisa las cuentas porque nadie más quiere, extendió los recibos en la mesa de la cocina. No comprobó ni una sola partida. Solo contó la primera cifra de cada importe. Luego le preguntó a Paco qué recibos se había inventado. Paco preguntó cómo lo sabía. Mari Carmen dijo que se lo habían contado los números. Paco dijo que los números no hablan. Mari Carmen dijo que estos habían estado muy habladores.
Los números reales adoran el 1
Uno pensaría que la primera cifra de un importe puede ser cualquiera del 1 al 9 con la misma probabilidad. En muchas colecciones reales de números, no es así. El patrón, llamado ley de Benford, es este:
- Primera cifra 1: más o menos el 30,1% de las veces.
- 2: 17,6%. 3: 12,5%. 4: 9,7%. 5: 7,9%.
- 6: 6,7%. 7: 5,8%. 8: 5,1%. 9: solo el 4,6%.
Aparece en las facturas de la luz, la longitud de los ríos, la población de los pueblos, las cuentas de las empresas y las notas de gastos: en todo lo que crece por porcentajes y abarca varios órdenes de magnitud, de decenas a miles.
Parte de los números que empiezan por cada cifra, según la ley de Benford
Por qué gana el 1
Piensa en un importe que crece a un porcentaje fijo, como una hucha con intereses. Para pasar de 100 a 200 tiene que duplicarse. Para pasar de 900 a 1000 le basta con crecer un 11%. Así que pasa mucho tiempo con un 1 delante y vuela por los ochos y los nueves. Luego llega a 1000 y vuelve a tener un 1 delante durante mucho tiempo. Junta muchos números así y los unos se acumulan.
Por qué los números inventados no
Cuando la gente se inventa importes, intenta que parezcan aleatorios, y para casi todo el mundo aleatorio significa «bien repartido». Evitan los números redondos, evitan repetirse y eligen muchas primeras cifras intermedias, como 4, 5, 6 y 7. Rara vez empiezan por 1, porque el 1 parece demasiado pequeño y demasiado evidente.
Los 120 recibos de Paco: primera cifra 1 solo en 10, más o menos el 8%. Primera cifra 6 o 7 en 41. Los recibos reales, de abono y cuerda, se parecían bastante a Benford. Los posavasos, no. Los posavasos, dijo Mari Carmen, son lo que los estadísticos llaman un valor atípico, y lo que ella llama «el jueves».
Cuándo funciona la ley de Benford y cuándo no
1. Necesita amplitud. Los números deben abarcar varios órdenes de magnitud: de decenas a miles, no todos entre 150 y 200.
2. No vale para números asignados o con tope. Los números de teléfono, las estaturas de los adultos, las tallas de zapato, los precios de 9,99 € y los pagos con un límite no la siguen.
3. Es un motivo para mirar, no un veredicto. Los auditores la usan como primer filtro para decidir dónde escarbar. Un conjunto pequeño puede desviarse por azar, así que una desviación necesita una muestra de cientos de números y una revisión más a fondo antes de acusar a nadie de nada.
Dónde te cuesta dinero
Las cifras contables de las empresas reales suelen seguir bastante bien la ley de Benford. Investigadores y auditores han usado pruebas de la primera cifra para señalar cuentas que merecen una revisión más a fondo, y un patrón sospechoso es un motivo más para leer con cuidado los números de una empresa en vez de fiarse del titular. No te elegirá inversiones, pero es una forma barata de notar cuándo unos números parecen inventados, también en un historial de resultados demasiado bonito para ser verdad.
La moraleja
Paco confesó siete posavasos y le dejaron seguir de tesorero con la condición de que todos los recibos futuros los imprimiera una caja registradora. Al año siguiente, sus recibos seguían la ley de Benford de maravilla. A Mari Carmen eso también le pareció sospechoso. Resultó que Paco había leído sobre la ley de Benford y ahora se inventaba recibos que empiezan por 1. Mari Carmen ha pasado a la segunda cifra, que también tiene su patrón. Paco todavía no lo sabe.
Los porcentajes de Benford son las frecuencias estándar de la primera cifra, log10(1 + 1/d). Los recibos de Paco son inventados. Un patrón en las primeras cifras es una herramienta de cribado, no una prueba de irregularidades. Contenido educativo, no asesoramiento financiero.