Jak zgadnąć, ile cukierków jest w słoiku? Metoda Andżeliki i 300 Janusza
W skrócie: cukierki w słoiku się liczy mnożeniem, a nie zgadywaniem. Oszacuj objętość zajętą przez cukierki, pomnóż przez część przestrzeni, którą naprawdę wypełniają (wsypane losowo cukierki zajmują mniej więcej 64% do 71% pojemnika; dla żelków fasolek rozsądne jest 65%), i podziel przez objętość jednego cukierka, którą zmierzysz, wrzucając 20 sztuk do wody. Dla słoika 1,9 litra napełnionego do ramion: około 1750 ml × 0,65 ÷ 1,5 ml daje około 760. Drobne błędy na każdym kroku częściowo się znoszą, dlatego ta metoda zwykle trafia z dokładnością 10% do 15%.
Na szkolnym festynie stał słoik żelków fasolek: prawie dwa litry, wypełniony do ramion, 2 zł za strzał, kto będzie najbliżej, wygrywa słoik. Wujek Janusz patrzył na niego mniej więcej cztery sekundy i wpisał 300. „Policzyłem te z boku”, powiedział, „i pomnożyłem przez dwa, na środek”.
Kuzyn Seba wpisał 2000, bo słoik był duży. Andżelika, która ma piętnaście lat i usłyszała, że jeśli wygra, słoik będzie jej, poszła do domu, wróciła po godzinie z dzbankiem z podziałką i wpisała 760.
Krok 1: ile miejsca zajmują cukierki?
Na etykiecie było 1,9 litra, czyli około 1890 ml. Fasolki kończyły się na ramionach, poniżej zwężającej się szyjki, więc Andżelika odjęła trochę na pustą przestrzeń u góry i przyjęła 1750 ml. Niedokładnie, i nie musi być dokładnie. Pomyłka o 5% w tym miejscu daje wynik pomylony o 5%, a nie o 500%.
Krok 2: jak duża jest jedna fasolka?
Tu przydał się dzbanek. Andżelika nalała wody do kreski, wrzuciła 20 fasolek tej samej marki i patrzyła, jak woda podnosi się o około 30 ml. Jedna fasolka zajmuje więc około 1,5 ml. Dwadzieścia zamiast jednej, bo pojedyncza fasolka prawie nie rusza kreski, a średnia z 20 wygładza te duże i te małe.
Krok 3: ile w słoiku jest powietrza?
Fasolki nie wypełniają słoika jak woda. Wsypane losowo zostawiają szczeliny. Fizycy zmierzyli to dokładnie: losowo upakowane kulki zajmują około 64% pojemnika, a w badaniu opublikowanym w Science w 2004 roku cukierki w kształcie drażetek M&M układały się ciaśniej, w około 68% do 71%. Fasolki są bardziej nieregularne od jednych i drugich, więc Andżelika przyjęła 65%, a jako zakres 60% do 70%.
Krok 4: pomnożyć
- Miejsce zajęte przez fasolki: 1750 ml × 0,65 = około 1140 ml samych fasolek.
- Liczba fasolek: 1140 ÷ 1,5 = około 760.
- Przy upakowaniu 60% albo 70%: od około 700 do 820.
Takie liczenie to szacowanie Fermiego: rozbija się pytanie, które wygląda na niemożliwe, na kilka kroków, które da się z grubsza oszacować, a potem mnoży. Jedne błędy podbijają wynik, inne go obniżają, więc częściowo się znoszą. Dlatego zgrubne kroki Andżeliki wygrały z dokładnym liczeniem Janusza, który policzył tylko zewnętrzną warstwę słoika, a środek zgadł.
Co zgadywał festyn
Strzałów było 64. Środkowy, czyli mediana, wyniósł 650: bliżej niż większość pojedynczych strzałów, jak to często z tłumem bywa, ale wciąż za mało. Duże słoiki zwykle się zaniża, bo ludzie liczą to, co widzą, a widzą powierzchnię. W słoiku było 774 fasolki. Andżelika pomyliła się o 14, czyli około 2%. To lepiej, niż jej metoda na to zasługuje: innego dnia, przy trochę innym słoiku, pomyliłaby się o 10% i też by wygrała.
Fasolki w słoiku z festynu: strzały i prawdziwa liczba
Metoda na słoik
1. Objętość cukierków. Z etykiety albo z wymiarów słoika, minus pusta przestrzeń u góry.
2. Objętość jednego cukierka. Wrzuć 20 do dzbanka z wodą i podziel przyrost przez 20. Nie masz dzbanka? Zwykła żelkowa fasolka ma mniej więcej 1 do 2 ml.
3. Upakowanie. Pomnóż przez około 0,65. Okrągłe cukierki układają się trochę ciaśniej, podłużne albo płaskie bardziej różnie.
4. Sprawdzenie zdrowego rozsądku. Jeśli wynik bardzo odbiega od tego, co wyjdzie z policzenia jednej warstwy i pomnożenia przez liczbę warstw, któryś krok jest zły.
Gdzie to kosztuje pieniądze
Duże pytania o pieniądze, na przykład ile będzie kosztowało utrzymanie domu albo ile może być warta firma, wyglądają jak słoik: nie da się ich policzyć, łatwo strzelić na ślepo. Rozbicie ich na kroki, które da się sprawdzić (cena, oprocentowanie, lata, koszty), daje zgrubny wynik, którego można bronić, i pokazuje, które założenie waży najwięcej. Liczby z brzucha, jak 300 Janusza, nie da się sprawdzić, i właśnie dlatego brzmi tak pewnie.
Morał
Andżelika wygrała słoik i jedną trzecią oddała Januszowi, „na środek”. Janusz ogłosił później, że jego metoda była słuszna co do zasady, a myliła się tylko co do środka, który jego zdaniem jest większy, niż wygląda. Na przyszły rok wpisał już strzał z góry: 774.
Festyn, słoik i strzały to przykład liczbowy; pojemność słoika, objętość fasolki i upakowanie 65% to założenia. Dane o upakowaniu kulek i cukierków w kształcie M&M: Donev i in. (Science, 2004). Treść edukacyjna, nie porada finansowa.