Statystyka od zera · Lekcja 24 z 25
Rozkład Poissona: ilu klientów w następnej godzinie?
W jednym zdaniu: Gdy zdarzenia następują niezależnie w stałym średnim tempie, rozkład Poissona mówi, jak prawdopodobna jest każda liczba zdarzeń w ustalonym odcinku czasu albo przestrzeni i ile przypadkowego skupiania się trzeba się spodziewać.
Pomysł
Rozkład dwumianowy (lekcja 20) liczy sukcesy w ustalonej liczbie prób. Ale wiele liczebności nie ma żadnych „prób”: klienci podchodzący w ciągu godziny, maile w ciągu dnia, bramki w meczu, literówki na stronie. Rzeczy po prostu się zdarzają, od czasu do czasu, w jakimś średnim tempie. Rozkład dla takich liczebności to rozkład Poissona, nazwany od francuskiego matematyka i wymawiany mniej więcej „płasą”.
Potrzebuje tylko jednej liczby: średniej liczby zdarzeń, zwykle oznaczanej λ (lambda).
Stoisko z lemoniadą
Kuzyn Seba prowadzi w sobotnie popołudnia stoisko z lemoniadą. Przez lato miał średnio 4 klientów na godzinę.
W jedną sobotę między 14 a 15 przychodzi 9. Seba planuje zatrudnić młodszą siostrę, otworzyć drugie stoisko i być może sieć franczyzową. W następnej godzinie przychodzi 2 i Seba zrzuca winę na drugie stoisko, którego jeszcze nie ma.
Szanse dla każdej liczby
Jeśli klienci przychodzą niezależnie, średnio 4 na godzinę, rozkład Poissona daje:
| Klienci w godzinę | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 lub więcej |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Szansa | 1,8% | 7,3% | 14,7% | 19,5% | 19,5% | 15,6% | 10,4% | 6,0% | 5,1% |
Najbardziej prawdopodobna pojedyncza liczba to 4, ale dokładnie 4 klientów ma tylko mniej więcej jedna godzina na pięć. Godziny z 2 albo 6 klientami są zupełnie normalne. Dziewięciu lub więcej zdarza się w około 2,1% godzin: nietypowo, mniej więcej raz na pięćdziesiąt godzin, ale przez lato sobotnich popołudni Seba powinien spodziewać się kilku takich godzin, nawet jeśli nic się nie zmieniło. Jedna ruchliwa godzina to nie biznesplan.
Dla ciekawych wzór stojący za tabelą: szansa na dokładnie k zdarzeń to λᵏ × e^-λ ÷ k!. Rzadko liczy się go ręcznie; zrobi to każdy kalkulator albo arkusz.
Sprytna sztuczka: średnia i rozrzut to ta sama liczba
Dla liczby z rozkładu Poissona wariancja równa się średniej. Przy λ = 4 wariancja wynosi 4, a odchylenie standardowe √4 = 2. Typowa godzina to więc 4 klientów, plus minus 2. To szybki test na prawdziwych danych: jeśli rozrzut jest dużo większy, niż sugeruje średnia, dzieje się coś innego niż niezależne przyjścia.
Przypadek się skupia
Ludzie oczekują, że przypadkowe zdarzenia rozłożą się równo. Tak nie jest. Przy średniej 4 na godzinę ciche godziny i najazdy są wbudowane. Tak samo z dniami, w których trzy złe rzeczy zdarzają się po kolei, albo z serią bramek w pięć minut: niezależne zdarzenia w stałym tempie same z siebie tworzą skupiska. Zanim zaczniesz szukać przyczyny skupiska, zapytaj, czy liczba z rozkładu Poissona i tak by go nie wyprodukowała.
Gdzie go spotkasz
- Kolejki i obsada: telefony na infolinię, klienci przy kasie, samochody na skrzyżowaniu.
- Sport: bramki w meczu piłkarskim często modeluje się rozkładem Poissona osobno dla każdej drużyny, dlatego mecz z 7 bramkami jest rzadki, ale nie podejrzany.
- Rzadkie zdarzenia przy wielu okazjach: wypadki, wady, literówki. Rozkład Poissona to to, czym staje się rozkład dwumianowy przy wielu próbach i małej szansie za każdym razem. 1000 przechodniów, każdy z szansą 0,4% na zakup, daje dwumianową szansę na dokładnie 4 sprzedaże 19,58%; rozkład Poissona z λ = 4 daje 19,54%.
Kiedy zawodzi
- Zdarzenia przychodzą grupami. Pięcioosobowa rodzina kupująca pięć lemoniad to nie pięciu niezależnych klientów. Liczby robią się bardziej nierówne niż w rozkładzie Poissona: rozrzut jest większy niż średnia.
- Tempo się zmienia. Upalne i deszczowe popołudnie nie mają wspólnego λ. Wymieszaj je, a dostaniesz więcej skrajnych godzin, niż przewiduje jeden rozkład Poissona. Modeluj każdy rodzaj godzin osobno.
- Zdarzenia wpływają na siebie. Kolejka, która zniechęca ludzi, albo jedna bramka, która zmienia grę obu drużyn, łamie niezależność.
Spróbuj sam
Ciocia Grażyna dostaje średnio 1,5 telefonu od telemarketerów dziennie, a telefony przychodzą niezależnie.
1. Jak często ma dzień bez żadnego takiego telefonu? 2. Jak często dostaje 3 lub więcej w jeden dzień? 3. Mówi, że w dni z 3 telefonami „na pewno się na nią uwzięli”. Co byś jej powiedział?
Pokaż odpowiedź
1. e^-1,5 = około 22% dni, czyli mniej więcej jeden lub dwa spokojne dni w tygodniu.
2. Szanse na 0, 1 i 2 telefony to około 22,3%, 33,5% i 25,1%, razem 80,9%. Więc 3 lub więcej zdarza się w około 19% dni: mniej więcej 1,3 dnia w każdym tygodniu.
3. Dzień z 3 telefonami to dokładnie to, co stała średnia 1,5 produkuje mniej więcej raz w tygodniu. Wydaje się, że się uwzięli, bo zauważamy skupiska i zapominamy o spokojnych dniach. Gdyby dni z 3 telefonami zaczęły zdarzać się co drugi dzień, to samo tempo by wzrosło i wtedy warto by się temu przyjrzeć.
Słowa, których używa wykładowca
| Wykładowca mówi | To znaczy |
|---|---|
| Rozkład Poissona, Po(λ) | Szanse każdej liczby niezależnych zdarzeń w ustalonym przedziale przy średnim tempie λ |
| Parametr λ (lambda, intensywność) | Średnia liczba zdarzeń na przedział (na godzinę, na stronę, na mecz) |
| Proces Poissona | Zdarzenia przychodzą niezależnie, pojedynczo, w stałym średnim tempie |
| Średnia = wariancja | Cecha rozpoznawcza: rozrzut liczby zgadza się z jej średnią |
| Nadmierna dyspersja | Większy rozrzut, niż przewiduje rozkład Poissona; znak grupowania albo zmiennego tempa |
| Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona | Użycie rozkładu Poissona z λ = n × p, gdy n jest duże, a p małe |
Trzy rzeczy do zapamiętania
- Liczby niezależnych zdarzeń w stałym tempie mają rozkład Poissona, wyznaczony jedną liczbą: średnią.
- Jego wariancja równa się średniej, więc typowe wahanie to pierwiastek ze średniej.
- Przypadkowe zdarzenia się skupiają. Ruchliwa godzina albo zły dzień same w sobie nie dowodzą, że coś się zmieniło.
Część kursu Statystyka od zera, darmowego kursu dla początkujących od WrongStat. Nie zastąpi wykładowcy, ale mamy nadzieję, że będzie dobrym tłumaczem.