Czy zgadywać na teście wyboru? Matematyka punktów ujemnych
W skrócie: przy czterech odpowiedziach, +1 za dobrą i -1/3 za złą, strzał w ciemno ma wartość oczekiwaną dokładnie zero: średnio nic nie zyskujesz, tylko dokładasz ryzyka. Ale jeśli możesz odrzucić jedną złą odpowiedź, strzał jest wart średnio +0,11 punktu; po odrzuceniu dwóch +0,33. Bez punktów ujemnych zgaduj zawsze: strzał w ciemno jest wart +0,25. Kara jest ustawiona tak, żeby znosić zgadywanie w ciemno, a nie zgadywanie z wiedzą.
Andżelika ma próbny sprawdzian z chemii: 40 pytań wyboru, po cztery odpowiedzi. Zasady wydrukowane pogrubioną czcionką na pierwszej stronie: punkt za dobrą odpowiedź, trzecia część punktu odejmowana za złą, zero za brak odpowiedzi.
Rada wujka Janusza brzmiała: zostawiaj puste. „Nigdy nie zgaduj. Egzaminatorzy to widzą”. Kuzyn Seba radził zaznaczyć wszędzie C: „C to statystycznie najczęstsza odpowiedź”. Dziadek Zenek powiedział, że za jego czasów sprawdziany oceniano linijką, i pokazał jej palce. Andżelika postanowiła to policzyć.
Ile jest wart strzał w ciemno
Przy czterech odpowiedziach i zerowym pojęciu strzał jest trafny raz na 4 i chybiony 3 razy na 4.
- Dobra: +1 punkt, w jednej czwartej przypadków: +0,25.
- Zła: -1/3 punktu, w trzech czwartych przypadków: -0,25.
- Razem: 0. Średnio strzał w ciemno daje dokładnie nic.
To nie przypadek. Kara jest dobrana tak, żeby wartość oczekiwana zgadywania w ciemno wynosiła zero. Zgadywanie w ciemno średnio nie traci; po prostu sprawia, że wynik bardziej skacze. Janusz ma więc połowiczną rację: strzały w ciemno nie pomagają. Ale tylko połowiczną.
Ile jest wart strzał z wiedzą
Zwykle nie jesteś zupełnie w ciemno. Często możesz odrzucić jedną odpowiedź, która jest wyraźnie zła. To zmienia wszystko.
- Odrzucona jedna odpowiedź: trafiasz raz na 3. Wartość: 1/3 - (2/3 × 1/3) = +0,11 punktu.
- Odrzucone dwie: trafiasz raz na 2. Wartość: 1/2 - (1/2 × 1/3) = +0,33 punktu.
- Na 10 takich pytaniach, odrzucając za każdym razem dwie odpowiedzi, zyskujesz średnio około 3 punkty.
Kara jest ustawiona na kogoś, kto zgaduje w ciemno. Każdy, kto coś wie, ją pokonuje. Zostawianie pustego pola, gdy możesz odrzucić odpowiedź, to wyrzucanie punktów.
Średnia wartość strzału (cztery odpowiedzi, trzecia część punktu odejmowana za złą)
A bez punktów ujemnych?
Wtedy zgaduj zawsze. Strzał w ciemno przy czterech odpowiedziach jest wart +0,25 punktu, a puste pole nic. Wiele egzaminów zrezygnowało z punktów ujemnych właśnie dlatego: karały głównie ostrożnych uczniów. Amerykański test SAT zniósł karę za zgadywanie w 2016 roku; wcześniej, przy pięciu odpowiedziach i ćwierć punktu za złą, zgadywanie w ciemno było warte zero, dokładnie jak na sprawdzianie Andżeliki.
A co do „zawsze C” Seby: w dobrze przygotowanym teście dobre odpowiedzi są rozłożone równo między literami, więc C jest dobre w jednej czwartej przypadków, jak każda litera. Wzory w twoich dawnych testach to głównie grudki małych prób.
Jak decydować przy każdym pytaniu
1. Przeczytaj zasady punktacji. Punkty za dobrą, kara za złą, liczba odpowiedzi.
2. Policz, co możesz odrzucić. Każda odrzucona odpowiedź zwiększa wartość strzału.
3. Zgaduj, gdy wartość oczekiwana jest dodatnia. Przy karze jednej trzeciej i czterech odpowiedziach to zawsze, gdy odrzucisz choć jedną. Bez kary zawsze.
Gdzie to kosztuje pieniądze
Zakład o wartości oczekiwanej zero dokłada ryzyko i nic więcej, jak strzał w ciemno. To informacja zamienia rzut monetą w zakład, który ma sens. W inwestowaniu, jeśli nie umiesz powiedzieć, co wiesz, czego nie uwzględnia cena, zgadujesz w ciemno, a koszty robią wartość oczekiwaną ujemną. Jeśli naprawdę możesz odrzucić część scenariuszy, matematyka może być po twojej stronie, o ile dobierzesz wielkość zakładu na wypadek pomyłki.
Morał
Andżelika odpowiedziała na 28 pytań, które umiała, zgadywała w 9, w których mogła odrzucić co najmniej jedną odpowiedź, i zostawiła 3 puste. Pięć z dziewięciu strzałów było trafnych, więc zdobyła 31,7 punktu: prawie 4 punkty więcej, niż gdyby posłuchała Janusza. Seba pisał ten sam sprawdzian rok wcześniej, zaznaczył wszędzie C i miał dziesięć dobrych odpowiedzi i trzydzieści złych, co daje dokładnie zero. Twierdzi, że C miało w tamtym roku pecha.
Zasady punktacji i wyniki są przykładowe; sprawdź zasady swojego egzaminu. Treść edukacyjna, a nie porada finansowa.