Estadística desde cero · Lección 24 de 25
La distribución de Poisson: ¿cuántos clientes en la próxima hora?
En una frase: Cuando los sucesos ocurren de forma independiente a un ritmo medio constante, la distribución de Poisson te dice qué probabilidad tiene cada recuento en un tramo fijo de tiempo o espacio, y cuánto amontonamiento aleatorio esperar.
La idea
La distribución binomial (lección 20) cuenta éxitos en un número fijo de intentos. Pero muchos recuentos no tienen «intentos»: clientes que llegan en una hora, correos en un día, goles en un partido, erratas en una página. Las cosas simplemente pasan, de vez en cuando, a un ritmo medio. La distribución de estos recuentos es la distribución de Poisson, que lleva el nombre de un matemático francés y se pronuncia más o menos «puasón».
Solo necesita un número: el recuento medio, que se suele escribir λ (lambda).
El puesto de limonada
El cuñado monta un puesto de limonada los sábados por la tarde. Durante el verano ha tenido de media 4 clientes por hora.
Un sábado, entre las 2 y las 3, llegan 9. Ya está pensando en contratar a su hermana pequeña, abrir un segundo puesto y quizá montar una franquicia. A la hora siguiente llegan 2 y le echa la culpa al segundo puesto, que todavía no existe.
La probabilidad de cada recuento
Si los clientes llegan de forma independiente, 4 por hora de media, la distribución de Poisson da:
| Clientes en una hora | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 o más |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilidad | 1,8% | 7,3% | 14,7% | 19,5% | 19,5% | 15,6% | 10,4% | 6,0% | 5,1% |
El recuento más probable es 4, pero solo más o menos una hora de cada cinco tiene exactamente 4. Las horas con 2 o con 6 son completamente normales. Nueve o más pasa alrededor del 2,1% de las veces: raro, más o menos una hora de cada cincuenta, pero en un verano de sábados por la tarde el cuñado debería esperar unas cuantas horas así aunque no haya cambiado nada. Una hora con mucho jaleo no es un plan de negocio.
Para los curiosos, la fórmula detrás de la tabla: la probabilidad de exactamente k sucesos es λᵏ × e^-λ ÷ k!. Casi nunca se calcula a mano; lo hace cualquier calculadora u hoja de cálculo.
El truco: media y dispersión son el mismo número
En un recuento de Poisson, la varianza es igual a la media. Con λ = 4, la varianza es 4 y la desviación típica √4 = 2. Así que una hora normal son 4 clientes, 2 arriba o abajo. Es una comprobación rápida con datos reales: si la dispersión es mucho mayor de lo que sugiere la media, está pasando algo distinto de llegadas independientes.
El azar se amontona
La gente espera que los sucesos aleatorios se repartan de forma regular. No lo hacen. Con una media de 4 por hora, las horas tranquilas y los aluviones vienen incluidos. Lo mismo pasa con los días en que ocurren tres cosas malas seguidas, o con una racha de goles en cinco minutos: los sucesos independientes a ritmo constante forman grupos por sí solos. Antes de buscar el motivo de un amontonamiento, pregúntate si un recuento de Poisson lo produciría de todos modos.
Dónde te la encuentras
- Colas y turnos: llamadas a un teléfono de atención, clientes en una caja, coches en un cruce.
- Deporte: los goles de un partido de fútbol se suelen modelar como Poisson para cada equipo, y por eso un partido con 7 goles es raro pero no sospechoso.
- Sucesos raros con muchas ocasiones: accidentes, defectos, erratas. La Poisson es en lo que se convierte la binomial con muchos intentos y una probabilidad pequeña en cada uno. 1000 transeúntes, cada uno con un 0,4% de probabilidad de comprar, dan una probabilidad binomial de exactamente 4 ventas del 19,58%; la Poisson con λ = 4 da un 19,54%.
Dónde falla
- Sucesos que vienen en grupo. Una familia de cinco que compra cinco limonadas no son cinco clientes independientes. Los recuentos salen más irregulares que una Poisson: la dispersión es mayor que la media.
- Un ritmo que cambia. Una tarde de calor y una de lluvia no comparten la misma λ. Mézclalas y saldrán más horas extremas de las que predice una sola Poisson. Modela cada tipo de hora por separado.
- Sucesos que se influyen. Una cola que espanta a la gente, o un gol que cambia cómo juegan los dos equipos, rompe la independencia.
Pruébalo tú
La tía Mari Carmen recibe de media 1,5 llamadas comerciales al día, que llegan de forma independiente.
1. ¿Con qué frecuencia tiene un día sin ninguna llamada de este tipo? 2. ¿Con qué frecuencia recibe 3 o más en un día? 3. Dice que los días con 3 llamadas «la tienen fichada». ¿Qué le dirías?
Ver la respuesta
1. e^-1,5 = alrededor del 22% de los días, más o menos uno o dos días tranquilos por semana.
2. Las probabilidades de 0, 1 y 2 llamadas son de un 22,3%, un 33,5% y un 25,1%, que suman un 80,9%. Así que 3 o más pasa alrededor del 19% de los días: unos 1,3 días cada semana.
3. Un día con 3 llamadas es justo lo que una media constante de 1,5 produce más o menos una vez por semana. Parece que la tienen fichada porque nos fijamos en los montones y olvidamos los días tranquilos. Si los días con 3 llamadas empezaran a ser uno sí y otro no, el propio ritmo habría subido, y eso sí merecería mirarlo.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Distribución de Poisson, Po(λ) | Las probabilidades de cada recuento de sucesos independientes en un intervalo fijo, dado el ritmo medio λ |
| Parámetro λ (lambda, tasa) | El número medio de sucesos por intervalo (por hora, por página, por partido) |
| Proceso de Poisson | Sucesos que llegan de forma independiente, de uno en uno, a un ritmo medio constante |
| Media = varianza | La propiedad que la define: la dispersión del recuento coincide con su media |
| Sobredispersión | Más dispersión de la que predice la Poisson, señal de grupos o de un ritmo que cambia |
| Aproximación de Poisson a la binomial | Usar una Poisson con λ = n × p cuando n es grande y p pequeña |
Tres cosas para recordar
- Los recuentos de sucesos independientes a ritmo constante siguen una Poisson, fijada por un solo número: la media.
- Su varianza es igual a su media, así que la oscilación típica es la raíz de la media.
- Los sucesos aleatorios se amontonan. Una hora con jaleo o un mal día no prueban por sí solos que algo haya cambiado.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.