Estadística desde cero · Lección 9 de 22
Entre dos y seis cañas: los intervalos de confianza
En una frase: Un número sacado de una muestra casi seguro que se equivoca un poco, así que una buena estimación viene con un rango, y la anchura de ese rango te dice cuánto vale el número.
La idea
Cuando estimas algo a partir de una muestra, te sale un número: «el estudiante medio se toma 4 cañas en una fiesta». Ese número casi seguro que se equivoca un poco por el bailoteo de la muestra de la lección 6. Pregunta a otro grupo y saldrá 3,6 o 4,5.
Así que, en lugar de fingir que el número es exacto, los estadísticos dan un rango: «entre 2 y 6 cañas, más o menos». Ese rango es el intervalo de confianza. Es la versión honrada de una estimación. El número del medio es la mejor apuesta; la anchura del rango te dice cuánto caso hacerle.
La encuesta del cuñado sobre cañas
El cuñado, que a sus cuarenta y tantos se ha matriculado en la UNED «para demostrar que sabe más que los profesores», escribe un trabajo sobre la vida universitaria. Pregunta a 9 amigos cuántas cañas se toman en una fiesta normal. La respuesta media es 4, con una desviación típica de 3. (Los amigos del cuñado son variados. Algunos juegan al rugby. Uno se llama Íñigo y bebe mosto.)
El cuñado escribe: «Los estudiantes se toman 4 cañas en una fiesta».
El tutor anota en el margen: «Con tus datos: más o menos entre 2 y 6. Además, son tus amigos».
El tutor tiene razón en las dos cosas. La segunda es sesgo (lección 1), y ningún intervalo lo arregla. La primera es un intervalo de confianza, y así es de donde sale.
Cómo se construye el rango
Ya tienes todas las piezas de las lecciones anteriores:
- La estimación: la media de la muestra, 4 cañas.
- El error típico (lección 6): la desviación típica ÷ la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Aquí, 3 ÷ 3 = 1 caña.
- La regla de la campana (lección 5): alrededor del 95% de la campana está a menos de 2 desviaciones típicas del centro. (La cifra exacta es 1,96, que todo el mundo redondea a 2.)
Todo junto: la estimación más o menos unos 2 errores típicos. 4 más o menos 2 da más o menos de 2 a 6 cañas. Ese es el intervalo de confianza del 95%.
¿Quieres estar más seguro? Un intervalo del 99% usa unos 2,6 errores típicos en lugar de 2, así que es más ancho: más o menos de 1,4 a 6,6. Más seguridad siempre cuesta un rango más ancho. La única forma de tener un rango a la vez estrecho y fiable es tener más datos.
Si el cuñado hubiera preguntado a 36 personas en lugar de 9 (cuatro veces más), el error típico se habría reducido a la mitad, a 0,5, y el intervalo del 95% se habría encogido a más o menos de 3 a 5 cañas. La ley de la raíz cuadrada de la lección 6 en acción.
(Con muestras muy pequeñas, como los 9 amigos del cuñado, la cuenta exacta usa un multiplicador un poco mayor que 2. Para eso sirve la «t de Student» de tu libro. La idea es exactamente la misma.)
Qué significa de verdad «95% de confianza»
Aquí la mayoría de la gente, y unos cuantos libros, se lían un poco. La media real de todos los estudiantes es un número fijo. O está dentro del intervalo del cuñado o no lo está. Así que el «95%» en realidad no habla de ese intervalo concreto.
Habla del método. Si repitieras la encuesta muchas veces, cada vez con una muestra aleatoria nueva, y cada vez construyeras el intervalo de la misma manera, más o menos el 95% de esos intervalos contendría el valor real. Más o menos 1 de cada 20 se lo saltaría del todo, sin culpa de nadie.
Piénsalo como una red de pesca. Una red del 95% atrapa el pez el 95% de las veces. Una vez lanzada, el pez está o no está en esa red concreta, pero has usado una red que rara vez falla.
Veinte encuestas repetidas, veinte intervalos del 95%
Intervalos y significación son la misma idea
Los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis de la lección 8 son dos formas de mirar las mismas matemáticas. Si el intervalo del 95% para una diferencia no incluye el cero, la diferencia es estadísticamente significativa al 5%. Si lo incluye, no lo es. El intervalo simplemente enseña más: no solo si el efecto podría ser cero, sino también lo grande que podría ser razonablemente.
Pruébalo tú
Dos estrategias de trading se han probado con datos históricos. Los resultados son la ganancia media por operación con un intervalo de confianza del 95%. (Son ejemplos inventados para el ejercicio.)
Estrategia A: +0,4% de media por operación, intervalo del 95% de menos 0,2% a +1,0%.
Estrategia B: +0,10% de media por operación, intervalo del 95% de +0,06% a +0,14%.
Los costes de operar son de alrededor del 0,05% por operación (compra y venta juntas). ¿Qué estrategia, si es que alguna, ha demostrado que gana dinero?
Ver la respuesta
La estrategia A tiene una media emocionante, pero su intervalo incluye el cero y además unas cuantas cifras negativas. Los datos son compatibles con una estrategia que pierde dinero. No significativo. Hacen falta muchas más operaciones antes de que nadie pueda decir nada.
La estrategia B está de forma fiable por encima de cero: todo el intervalo es positivo, así que el resultado es estadísticamente significativo. Pero ahora resta los costes. 0,10% menos 0,05% deja 0,05% por operación, y el extremo inferior del intervalo, 0,06%, deja apenas un 0,01%. Real, pero diminuto, y una suposición un poco peor sobre los costes se lo come.
Así que ninguna ha demostrado de forma convincente que gane dinero después de costes. A es un gran «quizá». B es un «sí» pequeño que después de costes se convierte en un «probablemente no merece la pena». Es muy típico de lo que encontramos al probar ideas de trading, y justo por eso siempre enseñamos el rango, el número de operaciones y los costes, no solo la media.
Las palabras que usa tu profesor
| El profesor dice | Significa |
|---|---|
| Estimación puntual (estimador puntual) | Una única mejor apuesta (las 4 cañas) |
| Estimación por intervalos | Un rango en lugar de un único número |
| Intervalo de confianza (IC) | Un rango construido como la estimación más o menos unos cuantos errores típicos |
| Nivel de confianza | Con qué frecuencia el método atrapa el valor real: normalmente el 95%, a veces el 90% o el 99% |
| Margen de error | La mitad de la anchura del intervalo: la parte del «más o menos» |
| Valor crítico | El multiplicador: alrededor de 1,96 para el 95% y de 2,58 para el 99% |
| Distribución t de Student | Una versión un poco más ancha de la campana, que se usa con muestras pequeñas |
| Cobertura | Qué parte de los intervalos contendría el valor real si se repitiera todo desde el principio |
Tres cosas que recordar
- Una buena estimación siempre viene con un rango. Un número suelto sin rango esconde lo incierto que es.
- Un intervalo del 95% es más o menos la estimación más o menos 2 errores típicos. Más datos lo estrechan; más seguridad lo ensancha.
- Si el intervalo incluye el cero, puede que no haya efecto. Si está entero por encima de cero pero es diminuto, pregúntate si sobrevive a los costes.
Forma parte de Estadística desde cero, un curso gratuito para principiantes de WrongStat. No sustituye a tu profesor, pero esperamos que sea un buen traductor.